### 3.252 $$\int \frac{1}{(a+b \tanh ^2(x))^{5/2}} \, dx$$

Optimal. Leaf size=93 $\frac{b (5 a+2 b) \tanh (x)}{3 a^2 (a+b)^2 \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{5/2}}+\frac{b \tanh (x)}{3 a (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}$

[Out]

ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(5/2) + (b*Tanh[x])/(3*a*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2
)^(3/2)) + (b*(5*a + 2*b)*Tanh[x])/(3*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0852452, antiderivative size = 93, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 12, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.5, Rules used = {3661, 414, 527, 12, 377, 206} $\frac{b (5 a+2 b) \tanh (x)}{3 a^2 (a+b)^2 \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{5/2}}+\frac{b \tanh (x)}{3 a (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[(a + b*Tanh[x]^2)^(-5/2),x]

[Out]

ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(5/2) + (b*Tanh[x])/(3*a*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2
)^(3/2)) + (b*(5*a + 2*b)*Tanh[x])/(3*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])

Rule 3661

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x]
, x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(a + b*(ff*x)^n)^p/(c^2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ
[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && (IntegersQ[n, p] || IGtQ[p, 0] || EqQ[n^2, 4] || EqQ[n^2, 16])

Rule 414

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(b*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*
(c + d*x^n)^q*Simp[b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinomial
Q[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{1}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{5/2}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{5/2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{b \tanh (x)}{3 a (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{b-3 (a+b)+2 b x^2}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{3 a (a+b)}\\ &=\frac{b \tanh (x)}{3 a (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}+\frac{b (5 a+2 b) \tanh (x)}{3 a^2 (a+b)^2 \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{3 a^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{3 a^2 (a+b)^2}\\ &=\frac{b \tanh (x)}{3 a (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}+\frac{b (5 a+2 b) \tanh (x)}{3 a^2 (a+b)^2 \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{(a+b)^2}\\ &=\frac{b \tanh (x)}{3 a (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}+\frac{b (5 a+2 b) \tanh (x)}{3 a^2 (a+b)^2 \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^2}\\ &=\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{5/2}}+\frac{b \tanh (x)}{3 a (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}+\frac{b (5 a+2 b) \tanh (x)}{3 a^2 (a+b)^2 \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 7.48803, size = 976, normalized size = 10.49 $\text{result too large to display}$

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(a + b*Tanh[x]^2)^(-5/2),x]

[Out]

(Cosh[x]*Sinh[x]*(1575*ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]] + (3150*(a + b)*ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2
)/a)]]*Sinh[x]^2)/a + (1575*(a + b)^2*ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]]*Sinh[x]^4)/a^2 + (2100*b*ArcSin[S
qrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]]*Tanh[x]^2)/a + (4200*b*(a + b)*ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]]*Sinh[x]^2
*Tanh[x]^2)/a^2 + (2100*b*(a + b)^2*ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]]*Sinh[x]^4*Tanh[x]^2)/a^3 + (840*b^2
*ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]]*Tanh[x]^4)/a^2 + (1680*b^2*(a + b)*ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a
)]]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^4)/a^3 + (840*b^2*(a + b)^2*ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]]*Sinh[x]^4*Tanh[x]^4)/
a^4 + 2100*(-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a))^(3/2)*Sqrt[(Cosh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a] + 96*Hypergeometric2F1[2, 2,
9/2, -(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]*(-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a))^(7/2)*Sqrt[(Cosh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a] + 24*Hy
pergeometricPFQ[{2, 2, 2}, {1, 9/2}, -(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]*(-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a))^(7/2)*Sqrt[(Cosh[x]^
2*(a + b*Tanh[x]^2))/a] + (2800*b*(-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a))^(3/2)*Tanh[x]^2*Sqrt[(Cosh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2)
)/a])/a + (168*b*Hypergeometric2F1[2, 2, 9/2, -(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]*(-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a))^(7/2)*Tanh[
x]^2*Sqrt[(Cosh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a])/a + (48*b*HypergeometricPFQ[{2, 2, 2}, {1, 9/2}, -(((a + b)*Sinh[x
]^2)/a)]*(-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a))^(7/2)*Tanh[x]^2*Sqrt[(Cosh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a])/a + (1120*b^2*(-(((
a + b)*Sinh[x]^2)/a))^(3/2)*Tanh[x]^4*Sqrt[(Cosh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a])/a^2 + (72*b^2*Hypergeometric2F1[2
, 2, 9/2, -(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]*(-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a))^(7/2)*Tanh[x]^4*Sqrt[(Cosh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^
2))/a])/a^2 + (24*b^2*HypergeometricPFQ[{2, 2, 2}, {1, 9/2}, -(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]*(-(((a + b)*Sinh[x]^2)/
a))^(7/2)*Tanh[x]^4*Sqrt[(Cosh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a])/a^2 - 1575*Sqrt[-(((a + b)*Cosh[x]^2*Sinh[x]^2*(a +
b*Tanh[x]^2))/a^2)] - (2100*b*Tanh[x]^2*Sqrt[-(((a + b)*Cosh[x]^2*Sinh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a^2)])/a - (84
0*b^2*Tanh[x]^4*Sqrt[-(((a + b)*Cosh[x]^2*Sinh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a^2)])/a^2))/(315*a^2*(-(((a + b)*Sinh[
x]^2)/a))^(5/2)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]*Sqrt[(Cosh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a]*(1 + (b*Tanh[x]^2)/a))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.024, size = 420, normalized size = 4.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(a+b*tanh(x)^2)^(5/2),x)

[Out]

1/6/(a+b)/((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(3/2)+1/6*b/(a+b)/a/((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(3/2
)*tanh(x)+1/3*b/(a+b)/a^2/((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)+1/2/(a+b)^2/((1+tanh(x))^2*b-2*(
1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)+1/2/(a+b)^2/a/((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*b*tanh(x)-1/2/(a+b)^(5/2)*ln
((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))-1/6/(a+b)/((
tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(3/2)+1/6*b/(a+b)/a/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(3/2)*tanh(x)+1/
3*b/(a+b)/a^2/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)-1/2/(a+b)^2/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b
+a+b)^(1/2)+1/2/(a+b)^2/a/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*b*tanh(x)+1/2/(a+b)^(5/2)*ln((2*a+2*b+2*
(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{1}{{\left (b \tanh \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tanh(x)^2)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*tanh(x)^2 + a)^(-5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 8.35041, size = 16405, normalized size = 176.4 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tanh(x)^2)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(3*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^4 + 2*a^3*b
+ a^2*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(a^4 - a^2*b^2 + 7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^2
)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^4 - 2*a
^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^4 + 3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 30*(a^
4 - a^2*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a
^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(
7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^4 + a^4 - a^2*b^2 + 3*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3*
a^2*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^5 + (3*a^4
- 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)^3 + (a^4 - a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8
+ 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^
3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)
^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 -
30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3
- a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cos
h(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b
+ 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 -
3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 -
2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*
b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a
+ b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*
cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*
cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh
(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 3*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^4 + 2*a^3*
b + a^2*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(a^4 -
a^2*b^2 + 7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^4
- a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*c
osh(x)^4 + 3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 30*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2 + 8
*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)
)*sinh(x)^3 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^4 - a^2*b^2)*cosh
(x)^4 + a^4 - a^2*b^2 + 3*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*co
sh(x)^7 + 3*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^5 + (3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)^3 + (a^4 - a^2*b^2)*cosh(x))*sin
h(x))*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2
*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqr
t(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*co
sh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 8*sqrt(2)*((3*a^3*b + 7*a
^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)^6 + 6*(3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (3*a^3*b + 7*a
^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*sinh(x)^6 + 3*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 - b^4)*cosh(x)^4 + 3*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b
^3 - b^4 + 5*(3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 - 3*a^3*b - 7*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4
+ 4*(5*(3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)^3 + 3*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 - b^4)*cosh(x))*sinh(x)^
3 - 3*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 - b^4)*cosh(x)^2 + 3*(5*(3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)^4 - a^3
*b + a^2*b^2 + 3*a*b^3 + b^4 + 6*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 - b^4)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 6*((3*a^3*b + 7*a^2*
b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)^5 + 2*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 - b^4)*cosh(x)^3 - (a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 -
b^4)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + s
inh(x)^2)))/((a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^8 + 8*(a^7 + 5*a^6*b + 10
*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*
a^3*b^4 + a^2*b^5)*sinh(x)^8 + a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5 + 4*(a^7 + 3*a^6*
b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^6 + 4*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*
b^4 - a^2*b^5 + 7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*
(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^3 + 3*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a
^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3*
a^2*b^5)*cosh(x)^4 + 2*(3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 35*(a^7 + 5*a^6*b +
10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^4 + 30*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b
^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh
(x)^5 + 10*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^3 + (3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5*
b^2 + 6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3
*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^2 + 4*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5 + 7*(a^7 + 5*a^6*b
+ 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^6 + 15*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3
*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*cosh(x)^2)*sin
h(x)^2 + 8*((a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^7 + 3*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a
^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^5 + (3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3
*a^2*b^5)*cosh(x)^3 + (a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x))*sinh(x)), -1/6*(3
*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^4 + 2*a^3*b + a^2*b
^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(a^4 - a^2*b^2 + 7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x
)^6 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3
*a^2*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^4 + 3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 30*(a^4 - a^2*
b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^4 - a^2
*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^4 +
2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^4 + a^4 - a^2*b^2 + 3*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)
*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^5 + (3*a^4 - 2*a^3*
b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)^3 + (a^4 - a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*co
sh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x
)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*s
inh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a
*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + 3*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*
cosh(x)^8 + 8*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^4 - a^2
*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(a^4 - a^2*b^2 + 7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b +
a^2*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*
(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^4 + 3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 30*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 +
a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^4 - 2
*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^
6 + 15*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^4 + a^4 - a^2*b^2 + 3*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((
a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(x)^5 + (3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(x)^3 + (
a^4 - a^2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*si
nh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) +
(a + b)*sinh(x)^2 + a + b)) - 4*sqrt(2)*((3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)^6 + 6*(3*a^3*b + 7*a^2
*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*sinh(x)^6 + 3*(a^3*b - a^2*b^2
- 3*a*b^3 - b^4)*cosh(x)^4 + 3*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 - b^4 + 5*(3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cos
h(x)^2)*sinh(x)^4 - 3*a^3*b - 7*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4 + 4*(5*(3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)^3
+ 3*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 - b^4)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 3*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 - b^4)*cosh(x)^2 + 3*
(5*(3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)^4 - a^3*b + a^2*b^2 + 3*a*b^3 + b^4 + 6*(a^3*b - a^2*b^2 - 3*
a*b^3 - b^4)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 6*((3*a^3*b + 7*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*cosh(x)^5 + 2*(a^3*b - a^2*b^2 -
3*a*b^3 - b^4)*cosh(x)^3 - (a^3*b - a^2*b^2 - 3*a*b^3 - b^4)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a +
b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/((a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3
+ 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^8 + 8*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)*s
inh(x)^7 + (a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*sinh(x)^8 + a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*
b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5 + 4*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(
x)^6 + 4*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5 + 7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4
*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 +
a^2*b^5)*cosh(x)^3 + 3*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(
3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*cosh(x)^4 + 2*(3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5*b^2 +
6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 35*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)
^4 + 30*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^7 + 5*a^6
*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^5 + 10*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*
a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^3 + (3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*cosh(x))*sinh
(x)^3 + 4*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^2 + 4*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b
^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5 + 7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(
x)^6 + 15*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5
*b^2 + 6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 +
5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*cosh(x)^7 + 3*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x)^5 +
(3*a^7 + 7*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 6*a^4*b^3 + 7*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*cosh(x)^3 + (a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a
^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{1}{\left (a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac{5}{2}}}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tanh(x)**2)**(5/2),x)

[Out]

Integral((a + b*tanh(x)**2)**(-5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: TypeError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tanh(x)^2)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError