### 3.242 $$\int \frac{\tanh (x)}{(a+b \tanh ^2(x))^{3/2}} \, dx$$

Optimal. Leaf size=49 $\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{3/2}}-\frac{1}{(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}$

[Out]

ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) - 1/((a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0856056, antiderivative size = 49, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 15, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.333, Rules used = {3670, 444, 51, 63, 208} $\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{3/2}}-\frac{1}{(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Tanh[x]/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) - 1/((a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 444

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m
- n + 1, 0]

Rule 51

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1
))/((b*c - a*d)*(m + 1)), x] - Dist[(d*(m + n + 2))/((b*c - a*d)*(m + 1)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(LtQ[n, -1] && (EqQ[a, 0] || (NeQ[
c, 0] && LtQ[m - n, 0] && IntegerQ[n]))) && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tanh (x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) (a+b x)^{3/2}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac{1}{(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )}{2 (a+b)}\\ &=-\frac{1}{(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+\frac{a}{b}-\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\right )}{b (a+b)}\\ &=\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{3/2}}-\frac{1}{(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 0.0349182, size = 41, normalized size = 0.84 $-\frac{\, _2F_1\left (-\frac{1}{2},1;\frac{1}{2};\frac{b \tanh ^2(x)+a}{a+b}\right )}{(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Tanh[x]/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(Hypergeometric2F1[-1/2, 1, 1/2, (a + b*Tanh[x]^2)/(a + b)]/((a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.02, size = 273, normalized size = 5.6 \begin{align*} -{\frac{1}{2\,b+2\,a}{\frac{1}{\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b}}}}-{\frac{b \left ( 2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b-2\,b \right ) }{ \left ( a+b \right ) \left ( 4\,b \left ( a+b \right ) -4\,{b}^{2} \right ) }{\frac{1}{\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b}}}}+{\frac{1}{2}\ln \left ({\frac{1}{1+\tanh \left ( x \right ) } \left ( 2\,a+2\,b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+2\,\sqrt{a+b}\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b} \right ) } \right ) \left ( a+b \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}}-{\frac{1}{2\,b+2\,a}{\frac{1}{\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b}}}}+{\frac{b \left ( 2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+2\,b \right ) }{ \left ( a+b \right ) \left ( 4\,b \left ( a+b \right ) -4\,{b}^{2} \right ) }{\frac{1}{\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b}}}}+{\frac{1}{2}\ln \left ({\frac{1}{\tanh \left ( x \right ) -1} \left ( 2\,a+2\,b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+2\,\sqrt{a+b}\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b} \right ) } \right ) \left ( a+b \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

-1/2/(a+b)/((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)-b/(a+b)*(2*(1+tanh(x))*b-2*b)/(4*b*(a+b)-4*b^2)/((1+tan
h(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)+1/2/(a+b)^(3/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*
b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))-1/2/(a+b)/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)+b/(a+b)*(2*(t
anh(x)-1)*b+2*b)/(4*b*(a+b)-4*b^2)/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)+1/2/(a+b)^(3/2)*ln((2*a+2*b+2*(
tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )}{{\left (b \tanh \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(tanh(x)/(b*tanh(x)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.98922, size = 6395, normalized size = 130.51 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b
)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(((a^
3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)
^6 + 2*(2*a^3 + a^2*b + 14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + a^2
*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a
^2*b - a*b^2 + b^3 + 30*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + a^2
*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(2*a^3
+ 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b -
b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^
5 + a^2*sinh(x)^6 + 3*a^2*cosh(x)^4 + 3*(5*a^2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x)
)*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (15*a^2*cosh(x)^4 + 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*si
nh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^5 + 6*a^2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*s
qrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) +
4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (2*a
^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3
*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(
x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b
)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(-((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x
)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(
x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*co
sh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - b*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x
) + sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt((
(a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/((a^3 + 3*a^2*b +
3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b
^3)*sinh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b
^2 - b^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)
^3 + (a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (
a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a
- b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 +
a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + a*b - b^2
)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*c
osh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + ((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)
*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*
cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a
- b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b
)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 +
a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + 2*sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^2 +
2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(
cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3
*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 +
2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cos
h(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x
))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 12.2585, size = 51, normalized size = 1.04 \begin{align*} - \frac{1}{\left (a + b\right ) \sqrt{a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}}} - \frac{\operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}}}{\sqrt{- a - b}} \right )}}{\sqrt{- a - b} \left (a + b\right )} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*tanh(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

-1/((a + b)*sqrt(a + b*tanh(x)**2)) - atan(sqrt(a + b*tanh(x)**2)/sqrt(-a - b))/(sqrt(-a - b)*(a + b))

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: TypeError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError