### 3.239 $$\int \frac{\tanh ^4(x)}{(a+b \tanh ^2(x))^{3/2}} \, dx$$

Optimal. Leaf size=84 $-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{b^{3/2}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{3/2}}+\frac{a \tanh (x)}{b (a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}$

[Out]

-(ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/b^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]
^2]]/(a + b)^(3/2) + (a*Tanh[x])/(b*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.129904, antiderivative size = 84, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 17, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.353, Rules used = {3670, 470, 523, 217, 206, 377} $-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{b^{3/2}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{3/2}}+\frac{a \tanh (x)}{b (a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Tanh[x]^4/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/b^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]
^2]]/(a + b)^(3/2) + (a*Tanh[x])/(b*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 470

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(a*e^(2
*n - 1)*(e*x)^(m - 2*n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[e^(2
*n)/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - 2*n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[a*c*(m - 2*n + 1) +
(a*d*(m - n + n*q + 1) + b*c*n*(p + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m - n + 1, n] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tanh ^4(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{a \tanh (x)}{b (a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+(-a-b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{b (a+b)}\\ &=\frac{a \tanh (x)}{b (a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{b}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{a+b}\\ &=\frac{a \tanh (x)}{b (a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{b}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{a+b}\\ &=-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{b^{3/2}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{3/2}}+\frac{a \tanh (x)}{b (a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 2.25302, size = 188, normalized size = 2.24 $-\frac{a \tanh (x) \left (\sqrt{2} (a+b) \sqrt{\frac{\text{csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}} \text{EllipticF}\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{\text{csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}}}{\sqrt{2}}\right ),1\right )+\sqrt{2} b \sqrt{\frac{\text{csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}} \Pi \left (\frac{b}{a+b};\left .\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{(a-b+(a+b) \cosh (2 x)) \text{csch}^2(x)}{b}}}{\sqrt{2}}\right )\right |1\right )-2 a-2 b\right )}{\sqrt{2} b (a+b)^2 \sqrt{\text{sech}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Tanh[x]^4/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-((a*(-2*a - 2*b + Sqrt[2]*(a + b)*Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((a -
b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]/Sqrt[2]], 1] + Sqrt[2]*b*Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]
*EllipticPi[b/(a + b), ArcSin[Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]/Sqrt[2]], 1])*Tanh[x])/(Sqrt[2]*
b*(a + b)^2*Sqrt[(a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Sech[x]^2]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.027, size = 328, normalized size = 3.9 \begin{align*}{\frac{\tanh \left ( x \right ) }{b}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}}}}}-{\ln \left ( \tanh \left ( x \right ) \sqrt{b}+\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}} \right ){b}^{-{\frac{3}{2}}}}-{\frac{\tanh \left ( x \right ) }{a}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}}}}}+{\frac{1}{2\,b+2\,a}{\frac{1}{\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b}}}}+{\frac{b \left ( 2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b-2\,b \right ) }{ \left ( a+b \right ) \left ( 4\,b \left ( a+b \right ) -4\,{b}^{2} \right ) }{\frac{1}{\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b}}}}-{\frac{1}{2}\ln \left ({\frac{1}{1+\tanh \left ( x \right ) } \left ( 2\,a+2\,b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+2\,\sqrt{a+b}\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b} \right ) } \right ) \left ( a+b \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}}-{\frac{1}{2\,b+2\,a}{\frac{1}{\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b}}}}+{\frac{b \left ( 2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+2\,b \right ) }{ \left ( a+b \right ) \left ( 4\,b \left ( a+b \right ) -4\,{b}^{2} \right ) }{\frac{1}{\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b}}}}+{\frac{1}{2}\ln \left ({\frac{1}{\tanh \left ( x \right ) -1} \left ( 2\,a+2\,b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+2\,\sqrt{a+b}\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b} \right ) } \right ) \left ( a+b \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)^4/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

tanh(x)/b/(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)-1/b^(3/2)*ln(tanh(x)*b^(1/2)+(a+b*tanh(x)^2)^(1/2))-tanh(x)/a/(a+b*tanh(x)^2)^
(1/2)+1/2/(a+b)/((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)+b/(a+b)*(2*(1+tanh(x))*b-2*b)/(4*b*(a+b)-4*b^2)/((
1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)-1/2/(a+b)^(3/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x
))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))-1/2/(a+b)/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)+b/(a+b)*
(2*(tanh(x)-1)*b+2*b)/(4*b*(a+b)-4*b^2)/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)+1/2/(a+b)^(3/2)*ln((2*a+2*
b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )^{4}}{{\left (b \tanh \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^4/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(tanh(x)^4/(b*tanh(x)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 5.32513, size = 18425, normalized size = 219.35 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^4/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a*b^2 + b^3 + 2
*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a*b^2 - b^3 + 3*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3
+ (a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^
7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sin
h(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3
)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh
(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)
)*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x
)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh
(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^
2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2
*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^
2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2
+ a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(
x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*co
sh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)
^5 + sinh(x)^6)) + 2*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*si
nh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 -
b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((
a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(b)*log(-((a + 2*
b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*co
sh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)
*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3
+ (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sin
h(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + ((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a*b^2 + b^3)*cosh
(x)*sinh(x)^3 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a*b^2 + b^3 + 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a*b^2 - b^3 + 3*(a*b^2
+ b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a
+ b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a
)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a
+ b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh
(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)
^2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^
2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5 + (a^3*b^2 + 3*a
^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^4 + 4*(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3*b^2 + 3*a
^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*sinh(x)^4 + 2*(a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^5)*cosh(x)^2 + 2*(a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b
^4 - b^5 + 3*(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 +
b^5)*cosh(x)^3 + (a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^5)*cosh(x))*sinh(x)), 1/4*(4*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*
cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 +
a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3 + 3*(a^
3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + a^2*
b - a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqr
t(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a +
b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2
+ a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*
(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a*b^2 + b^3 + 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a*b^2
- b^3 + 3*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*s
qrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*
b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x
)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cos
h(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)
^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b
^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4
+ a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*
b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(
x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2
+ 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)
*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sin
h(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b
^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh
(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a*b^2 + b^3)*c
osh(x)^4 + 4*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a*b^2 + b^3 + 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)
^2 + 2*(a*b^2 - b^3 + 3*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a*b^2 - b^3)*cosh(x
))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)
^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a +
b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a +
b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*(a^2*b +
a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt(((a +
b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 +
3*a*b^4 + b^5 + (a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^4 + 4*(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cos
h(x)*sinh(x)^3 + (a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*sinh(x)^4 + 2*(a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^5)*cosh(x)
^2 + 2*(a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^5 + 3*(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a
^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^3 + (a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^5)*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*(((a
*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a*b^2 + b^3 + 2*(a*b^2 -
b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a*b^2 - b^3 + 3*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a*b^2
- b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)
*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)
)/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(
x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^
3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + ((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a
*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a*b^2 + b^3 + 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a*b^2 - b^3 + 3*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*
sinh(x)^2 + 4*((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^
2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh
(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 +
2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sin
h(x) + a + b)) - ((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x
)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3
)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3
+ 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*c
osh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x
)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cos
h(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a
- 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)
^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^
2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2
+ a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5 + (a^3*b^2 + 3*a^
2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^4 + 4*(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3*b^2 + 3*a^
2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*sinh(x)^4 + 2*(a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^5)*cosh(x)^2 + 2*(a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^
4 - b^5 + 3*(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b
^5)*cosh(x)^3 + (a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^5)*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*(((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a*b^2
+ b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a*b^2 + b^3 + 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a*b^2 - b^3
+ 3*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a
- b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh
(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*
b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2
+ a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))
*sinh(x))) + ((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a*b^2 +
b^3 + 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a*b^2 - b^3 + 3*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a*b^2 + b^3)*cos
h(x)^3 + (a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^
2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh
(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a +
b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - 2*((a^3 + 3*a^2
*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2
+ b^3)*sinh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b -
a*b^2 - b^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cos
h(x)^3 + (a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(
3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + 2*sqrt(2)
*(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*s
qrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^3*b^2 + 3
*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5 + (a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^4 + 4*(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4
+ b^5)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*sinh(x)^4 + 2*(a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^
5)*cosh(x)^2 + 2*(a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^5 + 3*(a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)
^2 + 4*((a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*cosh(x)^3 + (a^3*b^2 + a^2*b^3 - a*b^4 - b^5)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh ^{4}{\left (x \right )}}{\left (a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)**4/(a+b*tanh(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral(tanh(x)**4/(a + b*tanh(x)**2)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: TypeError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^4/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError