### 3.223 $$\int \coth (x) (a+b \tanh ^2(x))^{3/2} \, dx$$

Optimal. Leaf size=71 $a^{3/2} \left (-\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )\right )+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-b \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}$

[Out]

-(a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]]) + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] -
b*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.136251, antiderivative size = 71, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 15, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.4, Rules used = {3670, 446, 84, 156, 63, 208} $a^{3/2} \left (-\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )\right )+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-b \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Coth[x]*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]]) + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] -
b*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 84

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(f*(e + f*x)^(p -
1))/(b*d*(p - 1)), x] + Dist[1/(b*d), Int[((b*d*e^2 - a*c*f^2 + f*(2*b*d*e - b*c*f - a*d*f)*x)*(e + f*x)^(p -
2))/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 1]

Rule 156

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :>
Dist[(b*g - a*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Dist[(d*g - c*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)
^p/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \coth (x) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (a+b x^2\right )^{3/2}}{x \left (1-x^2\right )} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+b x)^{3/2}}{(1-x) x} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-b \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{-a^2+(-2 a-b) b x}{(1-x) x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-b \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+\frac{1}{2} a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )+\frac{1}{2} (a+b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-b \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+\frac{a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\right )}{b}+\frac{(a+b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+\frac{a}{b}-\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\right )}{b}\\ &=-a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-b \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.0598874, size = 71, normalized size = 1. $a^{3/2} \left (-\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )\right )+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-b \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Coth[x]*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]]) + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] -
b*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.116, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\rm coth} \left (x\right ) \left ( a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2} \right ) ^{{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

int(coth(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \tanh \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \coth \left (x\right )\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*tanh(x)^2 + a)^(3/2)*coth(x), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.56931, size = 11954, normalized size = 168.37 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(a + b)*log(((a^3 + a^2*
b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 2*(
2*a^3 + a^2*b + 14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh
(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a
*b^2 + b^3 + 30*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh
(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*
b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b - b^3 + 3*
(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*
sinh(x)^6 + 3*a^2*cosh(x)^4 + 3*(5*a^2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x
)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (15*a^2*cosh(x)^4 + 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2
+ a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^5 + 6*a^2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a +
b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a
^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a
^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)
^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 2*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sin
h(x)^2 + a)*sqrt(a)*log(-((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 + 2*(2*a -
b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh
(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 + (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + si
nh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + ((a + b)*cosh(
x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(a + b)*log(-((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*
cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(
x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(co
sh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - b*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*
cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*b*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 -
2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1), 1/4*(4*(a*cosh(x)^2 + 2*a*co
sh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(
-a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)
*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 +
a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*
cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(a + b)*log(((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b)*cosh(x
)*sinh(x)^7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + a^2*b + 14*(a^3 + a^2*b)*cosh
(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a
*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3 + 30*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(
x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^
3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + a^2
*b)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b - b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(
x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 + 3*a^2*cosh(x)^4 + 3*(5*a^
2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x)^2
+ (15*a^2*cosh(x)^4 + 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*a^2*cosh(x
)^5 + 6*a^2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*
sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + a^
2*b)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x
)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(
x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(
a + b)*log(-((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b
)*cosh(x)^2 - b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)
*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 -
b*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*b*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2
+ (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + s
inh(x)^2 + 1), -1/2*(((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*
arctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2
+ (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*
b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^
2 + a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(
x))) + ((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)
*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a
- b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*s
inh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*co
sh(x))*sinh(x) + a + b)) - (a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a)*sqrt(a)*log(-((2*a + b)*cosh(
x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2
+ 2*a - b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)
^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 + (2*a -
b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 -
2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*b*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2
+ a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1), 1/2*(
2*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*
(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - ((a + b)
*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 +
2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/
(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 +
a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^
2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) - ((a + b)*cosh(x)^2 + 2
*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(
x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*s
inh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^
2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - 2*
sqrt(2)*b*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(
cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)*(a+b*tanh(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: NotImplementedError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: NotImplementedError