### 3.222 $$\int (a+b \tanh ^2(x))^{3/2} \, dx$$

Optimal. Leaf size=88 $(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} \sqrt{b} (3 a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} b \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}$

[Out]

-(Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/2 + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]
*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - (b*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/2

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0852639, antiderivative size = 88, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 12, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.5, Rules used = {3661, 416, 523, 217, 206, 377} $(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} \sqrt{b} (3 a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} b \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/2 + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]
*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - (b*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/2

Rule 3661

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x]
, x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(a + b*(ff*x)^n)^p/(c^2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ
[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && (IntegersQ[n, p] || IGtQ[p, 0] || EqQ[n^2, 4] || EqQ[n^2, 16])

Rule 416

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(d*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c
+ d*x^n)^(q - 1))/(b*(n*(p + q) + 1)), x] + Dist[1/(b*(n*(p + q) + 1)), Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 2)
*Simp[c*(b*c*(n*(p + q) + 1) - a*d) + d*(b*c*(n*(p + 2*q - 1) + 1) - a*d*(n*(q - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; F
reeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 1] && NeQ[n*(p + q) + 1, 0] &&  !IGtQ[p, 1] && IntB
inomialQ[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rubi steps

\begin{align*} \int \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (a+b x^2\right )^{3/2}}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac{1}{2} b \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{-a (2 a+b)-b (3 a+2 b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac{1}{2} b \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+(a+b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )-\frac{1}{2} (b (3 a+2 b)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac{1}{2} b \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+(a+b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} (b (3 a+2 b)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )\\ &=-\frac{1}{2} \sqrt{b} (3 a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} b \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.337716, size = 161, normalized size = 1.83 $\frac{1}{2} \left (-b \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-(a+b)^{3/2} \log \left (\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+a-b \tanh (x)\right )+(a+b)^{3/2} \log \left (\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+a+b \tanh (x)\right )-\sqrt{b} (3 a+2 b) \log \left (\sqrt{b} \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+b \tanh (x)\right )+(a+b)^{3/2} (-\log (1-\tanh (x)))+(a+b)^{3/2} \log (\tanh (x)+1)\right )$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(-((a + b)^(3/2)*Log[1 - Tanh[x]]) + (a + b)^(3/2)*Log[1 + Tanh[x]] - Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*Log[b*Tanh[x] + Sqrt
[b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - (a + b)^(3/2)*Log[a - b*Tanh[x] + Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] + (a + b)^(3
/2)*Log[a + b*Tanh[x] + Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - b*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/2

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.023, size = 578, normalized size = 6.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

1/6*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(3/2)-1/4*b*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)-3/4*
b^(1/2)*ln(((1+tanh(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))*a-1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*
b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))*a+1/2*((1+tanh(x))^2
*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*a-1/2*b^(3/2)*ln(((1+tanh(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)
^(1/2))-1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))
/(1+tanh(x)))*b+1/2*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*b-1/6*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(3
/2)-1/4*b*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)-3/4*b^(1/2)*ln(((tanh(x)-1)*b+b)/b^(1/2)+((tanh(
x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))*a+1/2*ln((2*a+2*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh
(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))*(a+b)^(1/2)*a-1/2*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*a-1/2*b^(3/2)*
ln(((tanh(x)-1)*b+b)/b^(1/2)+((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))+1/2*ln((2*a+2*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a
+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))*(a+b)^(1/2)*b-1/2*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh
(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*b

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \tanh \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*tanh(x)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.08731, size = 14453, normalized size = 164.24 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b
)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(-((a
*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x
)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*
b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*
b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*
b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 -
3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2
*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)
^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x
))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*s
inh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*
sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))
+ 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^
3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^
3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(3*a + 2
*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 3*a + 2
*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)^3 + (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*c
osh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x
)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cos
h(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a
- 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)
^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + ((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 +
(a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (
a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*si
nh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))
- 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2
+ a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cos
h(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1), 1/4*(2*((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*
(3*a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 +
3*a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)^3 + (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(-b)*arctan(s
qrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 +
a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)
*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*
cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*
cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a +
b)*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2
*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*co
sh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)
*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cos
h(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3
*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x
)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6
+ 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*c
osh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 -
a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*
b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)
*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 +
6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*
sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a + b)*cos
h(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a +
b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4
*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(
2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a
- b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(
x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(
((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*c
osh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) +
1), -1/4*(2*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3
*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*
arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2
+ (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^
2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2
- a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(
x))) + 2*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a
+ b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arct
an(sqrt(2)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)) - ((3*a + 2*b)*cosh(x
)^4 + 4*(3*a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cos
h(x)^2 + 3*a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)^3 + (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(b)*l
og(-((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*
(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*s
qrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b
)*cosh(x)^3 + (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x
)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x
)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(
x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 +
4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1), -1/2*(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x
)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x)
)*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(
-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*
b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 +
(6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a
^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) - ((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(3*a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*
sinh(x)^4 + 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 3*a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(
x)^3 + (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh
(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh
(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a +
b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a + b)*cosh(x
)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*
sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-a - b)*
sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cos
h(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)) + sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x)
+ b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(
x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x
)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral((a + b*tanh(x)**2)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: NotImplementedError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: NotImplementedError