### 3.221 $$\int \tanh (x) (a+b \tanh ^2(x))^{3/2} \, dx$$

Optimal. Leaf size=63 $(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{1}{3} \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}$

[Out]

(a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - (a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2] - (a + b*Tanh[x]^2)^(
3/2)/3

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.101468, antiderivative size = 63, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 15, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.333, Rules used = {3670, 444, 50, 63, 208} $(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{1}{3} \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Tanh[x]*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - (a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2] - (a + b*Tanh[x]^2)^(
3/2)/3

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 444

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m
- n + 1, 0]

Rule 50

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n)/(b*
(m + n + 1)), x] + Dist[(n*(b*c - a*d))/(b*(m + n + 1)), Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m + n + 1, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (G
tQ[m, 0] && LtQ[m - n, 0]))) &&  !ILtQ[m + n + 2, 0] && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \tanh (x) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x \left (a+b x^2\right )^{3/2}}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+b x)^{3/2}}{1-x} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac{1}{3} \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}+\frac{1}{2} (a+b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x}}{1-x} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{1}{3} \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}+\frac{1}{2} (a+b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{1}{3} \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}+\frac{(a+b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+\frac{a}{b}-\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\right )}{b}\\ &=(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-(a+b) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{1}{3} \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.159523, size = 59, normalized size = 0.94 $(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-\frac{1}{3} \sqrt{a+b \tanh ^2(x)} \left (4 a+b \tanh ^2(x)+3 b\right )$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Tanh[x]*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - (Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]*(4*a + 3*b + b*Tanh[x]^2))/3

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.023, size = 578, normalized size = 9.2 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

-1/6*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(3/2)+1/4*b*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)+3/4
*b^(1/2)*ln(((1+tanh(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))*a+1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2
*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))*a-1/2*((1+tanh(x))^
2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*a+1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-2*
(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))*b+1/2*b^(3/2)*ln(((1+tanh(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x
))*b+a+b)^(1/2))-1/2*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*b-1/6*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(
3/2)-1/4*b*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)-3/4*b^(1/2)*ln(((tanh(x)-1)*b+b)/b^(1/2)+((tanh
(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))*a+1/2*ln((2*a+2*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tan
h(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))*(a+b)^(1/2)*a-1/2*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*a+1/2*ln((2*a
+2*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))*(a+b)^(1/2)*b-1/2
*b^(3/2)*ln(((tanh(x)-1)*b+b)/b^(1/2)+((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))-1/2*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tan
h(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*b

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \tanh \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \tanh \left (x\right )\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*tanh(x)^2 + a)^(3/2)*tanh(x), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.24136, size = 7218, normalized size = 114.57 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(3*((a + b)*cosh(x)^6 + 6*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a + b)*sinh(x)^6 + 3*(a + b)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a
+ b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a + b)*cosh(x)^3 + 3*(a + b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 3*(a + b)*cosh(x)^
2 + 3*(5*(a + b)*cosh(x)^4 + 6*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 6*((a + b)*cosh(x)^5 + 2*(a + b)*cosh(x)
^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh
(x)^7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + a^2*b + 14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)
*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 +
b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3 + 30*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*
sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cos
h(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + a^2*b)*co
sh(x)^6 + 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b - b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*
sinh(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 + 3*a^2*cosh(x)^4 + 3*(5*a^2*cosh
(x)^2 + a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (15
*a^2*cosh(x)^4 + 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^5 +
6*a^2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x
)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*c
osh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 +
6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sin
h(x)^5 + sinh(x)^6)) + 3*((a + b)*cosh(x)^6 + 6*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a + b)*sinh(x)^6 + 3*(a + b)*cosh
(x)^4 + 3*(5*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a + b)*cosh(x)^3 + 3*(a + b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 3*
(a + b)*cosh(x)^2 + 3*(5*(a + b)*cosh(x)^4 + 6*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 6*((a + b)*cosh(x)^5 + 2
*(a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(-((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)
*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 +
2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - b*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)
*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 16*sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + (2*
a + b)*cosh(x)^2 + (6*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a + b)*sinh(x)^2 + 2*(2*(a + b)*cosh(x)^3 + (2*a + b)*cosh(x))*sin
h(x) + a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)
))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6 + 3*(5*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^4 + 3*cosh(x)^4 + 4*(5*cosh(x)^3
+ 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 3*(5*cosh(x)^4 + 6*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 3*cosh(x)^2 + 6*(cosh(x)^5 + 2*cosh(x)
^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1), -1/6*(3*((a + b)*cosh(x)^6 + 6*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a + b)*sinh(x)^6 + 3*(
a + b)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a + b)*cosh(x)^3 + 3*(a + b)*cosh(x))*sin
h(x)^3 + 3*(a + b)*cosh(x)^2 + 3*(5*(a + b)*cosh(x)^4 + 6*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 6*((a + b)*co
sh(x)^5 + 2*(a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2
*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(c
osh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a
*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2
+ 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + 3*((a + b)*cosh(x)^6 + 6
*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a + b)*sinh(x)^6 + 3*(a + b)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)
^4 + 4*(5*(a + b)*cosh(x)^3 + 3*(a + b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 3*(a + b)*cosh(x)^2 + 3*(5*(a + b)*cosh(x)^4 + 6*
(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 6*((a + b)*cosh(x)^5 + 2*(a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) +
a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)
*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a
+ b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2
+ 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + 8*sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)
*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + (2*a + b)*cosh(x)^2 + (6*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*a + b)*sinh(x)^2 + 2*(2*(a + b
)*cosh(x)^3 + (2*a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x
)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6 + 3*(5*cosh(x)^2 + 1)*sinh
(x)^4 + 3*cosh(x)^4 + 4*(5*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 3*(5*cosh(x)^4 + 6*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 3*
cosh(x)^2 + 6*(cosh(x)^5 + 2*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [B]  time = 16.3262, size = 128, normalized size = 2.03 \begin{align*} - \frac{2 a \left (\frac{b \sqrt{a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}}}{2} + \frac{b \left (a + b\right ) \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}}}{\sqrt{- a - b}} \right )}}{2 \sqrt{- a - b}}\right )}{b} - \frac{2 \left (\frac{b^{2} \sqrt{a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}}}{2} + \frac{b^{2} \left (a + b\right ) \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}}}{\sqrt{- a - b}} \right )}}{2 \sqrt{- a - b}} + \frac{b \left (a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}{6}\right )}{b} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)*(a+b*tanh(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

-2*a*(b*sqrt(a + b*tanh(x)**2)/2 + b*(a + b)*atan(sqrt(a + b*tanh(x)**2)/sqrt(-a - b))/(2*sqrt(-a - b)))/b - 2
*(b**2*sqrt(a + b*tanh(x)**2)/2 + b**2*(a + b)*atan(sqrt(a + b*tanh(x)**2)/sqrt(-a - b))/(2*sqrt(-a - b)) + b*
(a + b*tanh(x)**2)**(3/2)/6)/b

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: NotImplementedError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: NotImplementedError