### 3.218 $$\int \coth ^5(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)} \, dx$$

Optimal. Leaf size=121 $-\frac{\left (8 a^2+4 a b-b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{3/2}}+\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-\frac{1}{4} \coth ^4(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{(4 a+b) \coth ^2(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 a}$

[Out]

-((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*T
anh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - ((4*a + b)*Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(8*a) - (Coth[x]^4*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])
/4

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.21298, antiderivative size = 121, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 9, number of rules used = 7, integrand size = 17, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.412, Rules used = {3670, 446, 99, 151, 156, 63, 208} $-\frac{\left (8 a^2+4 a b-b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{3/2}}+\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-\frac{1}{4} \coth ^4(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{(4 a+b) \coth ^2(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 a}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Coth[x]^5*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

-((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*T
anh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - ((4*a + b)*Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(8*a) - (Coth[x]^4*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])
/4

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 99

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[((a + b
*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1))/((m + 1)*(b*e - a*f)), x] - Dist[1/((m + 1)*(b*e - a*f)), Int[(a +
b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(e + f*x)^p*Simp[d*e*n + c*f*(m + p + 2) + d*f*(m + n + p + 2)*x, x], x], x] /;
FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] && (IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p] || IntegersQ[m, n + p
] || IntegersQ[p, m + n])

Rule 151

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_Symb
ol] :> Simp[((b*g - a*h)*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*
f)), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[(a*d*f*
g - b*(d*e + c*f)*g + b*c*e*h)*(m + 1) - (b*g - a*h)*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - d*f*(b*g - a*h)*(m + n + p
+ 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[m]

Rule 156

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :>
Dist[(b*g - a*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Dist[(d*g - c*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)
^p/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \coth ^5(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x^2}}{x^5 \left (1-x^2\right )} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x}}{(1-x) x^3} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac{1}{4} \coth ^4(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+\frac{1}{4} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\frac{1}{2} (4 a+b)+\frac{3 b x}{2}}{(1-x) x^2 \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac{(4 a+b) \coth ^2(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 a}-\frac{1}{4} \coth ^4(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\frac{1}{4} \left (-8 a^2-4 a b+b^2\right )-\frac{1}{4} b (4 a+b) x}{(1-x) x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )}{4 a}\\ &=-\frac{(4 a+b) \coth ^2(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 a}-\frac{1}{4} \coth ^4(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{1}{2} (-a-b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )+\frac{\left (8 a^2+4 a b-b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )}{16 a}\\ &=-\frac{(4 a+b) \coth ^2(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 a}-\frac{1}{4} \coth ^4(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+\frac{(a+b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+\frac{a}{b}-\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\right )}{b}+\frac{1}{8} \left (4+\frac{8 a}{b}-\frac{b}{a}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\right )\\ &=-\frac{\left (8 a^2+4 a b-b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{3/2}}+\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-\frac{(4 a+b) \coth ^2(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 a}-\frac{1}{4} \coth ^4(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.577567, size = 111, normalized size = 0.92 $\frac{\left (-8 a^2-4 a b+b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )+\sqrt{a} \left (8 a \sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )-\coth ^2(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)} \left (2 a \coth ^2(x)+4 a+b\right )\right )}{8 a^{3/2}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Coth[x]^5*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

((-8*a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]] + Sqrt[a]*(8*a*Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*T
anh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - Coth[x]^2*(4*a + b + 2*a*Coth[x]^2)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]))/(8*a^(3/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.153, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{5}\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)^5*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x)

[Out]

int(coth(x)^5*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \tanh \left (x\right )^{2} + a} \coth \left (x\right )^{5}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^5*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*tanh(x)^2 + a)*coth(x)^5, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 8.32815, size = 25865, normalized size = 213.76 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^5*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*(4*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2
)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*c
osh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*cosh(x)^2 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)
^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2
*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b
)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + a^2*b + 14*(a^3 + a^2
*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a
^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3 + 30*(2*a^3 + a^2*
b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*
b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a
^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b - b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^
3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 + 3*a^2*cosh(x)^4 +
3*(5*a^2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*c
osh(x)^2 + (15*a^2*cosh(x)^4 + 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*a^
2*cosh(x)^5 + 6*a^2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 +
(a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 + 3*(2*
a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))
/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 +
6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) - ((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^8 + 8*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)*sinh(x
)^7 + (8*a^2 + 4*a*b - b^2)*sinh(x)^8 - 4*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)
^2 - 8*a^2 - 4*a*b + b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^3 - 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*
sinh(x)^5 + 6*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 - 30*(8*a^2 + 4*a*b - b^
2)*cosh(x)^2 + 24*a^2 + 12*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^5 - 10*(8*a^2 + 4*a*b -
b^2)*cosh(x)^3 + 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(8*a^2
+ 4*a*b - b^2)*cosh(x)^6 - 15*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 + 9*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 - 8*a^2 - 4
*a*b + b^2)*sinh(x)^2 + 8*a^2 + 4*a*b - b^2 + 8*((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^7 - 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cos
h(x)^5 + 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^3 - (8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-((2*a + b)*c
osh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x
)^2 + 2*a - b)*sinh(x)^2 + 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt(((a + b)*cos
h(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 + (2
*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)
^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 4*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*si
nh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2
*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*cosh(x)^2 + 8*(7*a^2*c
osh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)
^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(
a + b)*log(-((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b
)*cosh(x)^2 - b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)
*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 -
b*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt(2)*((6*a^2 + a*b)*cosh(x)^6
+ 6*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (6*a^2 + a*b)*sinh(x)^6 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x)^4 + (15*(6*a^2 + a*b)*co
sh(x)^2 + 2*a^2 - a*b)*sinh(x)^4 + 4*(5*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (2*a^2 -
a*b)*cosh(x)^2 + (15*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 6*(2*a^2 - a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 - a*b)*sinh(x)^2 + 6*a^2 + a*
b + 2*(3*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^5 + 2*(2*a^2 - a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*c
osh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cos
h(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(
7*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2
*cosh(x)^2 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*co
sh(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*
cosh(x))*sinh(x)), 1/8*(((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^8 + 8*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (8*a^2
+ 4*a*b - b^2)*sinh(x)^8 - 4*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 - 8*a^2 -
4*a*b + b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^3 - 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6
*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 - 30*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2
+ 24*a^2 + 12*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^5 - 10*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)
^3 + 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^
2)*cosh(x)^6 - 15*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 + 9*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 - 8*a^2 - 4*a*b + b^2)*s
inh(x)^2 + 8*a^2 + 4*a*b - b^2 + 8*((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^7 - 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^5 + 3*(8
*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^3 - (8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2
*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2
*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b
)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a
+ b)) + 2*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^
2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*
cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*cosh(x)^2 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x
)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^
2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*
b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + a^2*b + 14*(a^3 + a^
2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*
a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3 + 30*(2*a^3 + a^2
*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a
*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(
a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b - b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b
^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 + 3*a^2*cosh(x)^4
+ 3*(5*a^2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*
cosh(x)^2 + (15*a^2*cosh(x)^4 + 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*a
^2*cosh(x)^5 + 6*a^2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 +
(a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 + 3*(2
*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x)
)/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4
+ 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 2*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(
x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 +
2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*cosh(x)^2 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cos
h(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 +
a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(-((a + b)*
cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - b)*sinh
(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*
sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - b*cosh(x))*sinh(x) +
a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - sqrt(2)*((6*a^2 + a*b)*cosh(x)^6 + 6*(6*a^2 + a*b)*cosh(
x)*sinh(x)^5 + (6*a^2 + a*b)*sinh(x)^6 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x)^4 + (15*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 - a*b)*
sinh(x)^4 + 4*(5*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x)^2 + (15*(6
*a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 6*(2*a^2 - a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 - a*b)*sinh(x)^2 + 6*a^2 + a*b + 2*(3*(6*a^2 + a*b)*
cosh(x)^5 + 2*(2*a^2 - a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh
(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*si
nh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2
*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*cosh(x)^2 + 8*(7*a^2*c
osh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)
^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*cosh(x))*sinh(x)), -1/1
6*(8*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*si
nh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*cosh(
x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*cosh(x)^2 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 +
4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2*cos
h(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x
) + a*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh
(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (
2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2
*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + 8*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^
7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)
^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*cosh(x)^2 +
8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh(x)^4 + 9*a
^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*cosh(x))*sinh
(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*co
sh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a +
b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4
*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^8 + 8*(8*a^2 + 4*a*b
- b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (8*a^2 + 4*a*b - b^2)*sinh(x)^8 - 4*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(8*a^2
+ 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 - 8*a^2 - 4*a*b + b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^3 - 3*(8*a^2 +
4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 -
30*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + 24*a^2 + 12*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^5
- 10*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^3 + 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*c
osh(x)^2 + 4*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^6 - 15*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 + 9*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)
*cosh(x)^2 - 8*a^2 - 4*a*b + b^2)*sinh(x)^2 + 8*a^2 + 4*a*b - b^2 + 8*((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^7 - 3*(8*
a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^5 + 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^3 - (8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqr
t(a)*log(-((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 +
2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - b)*sinh(x)^2 + 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqr
t(a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((2
*a + b)*cosh(x)^3 + (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*
cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*((6*a^2 + a*b)*cosh
(x)^6 + 6*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (6*a^2 + a*b)*sinh(x)^6 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x)^4 + (15*(6*a^2 + a
*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 - a*b)*sinh(x)^4 + 4*(5*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (2*
a^2 - a*b)*cosh(x)^2 + (15*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 6*(2*a^2 - a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 - a*b)*sinh(x)^2 + 6*a^
2 + a*b + 2*(3*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^5 + 2*(2*a^2 - a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a
+ b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^2*cosh(x)^8 + 8*a
^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4
+ 8*(7*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 -
4*a^2*cosh(x)^2 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*
a^2*cosh(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3
- a^2*cosh(x))*sinh(x)), 1/8*(((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^8 + 8*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (
8*a^2 + 4*a*b - b^2)*sinh(x)^8 - 4*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 - 8*
a^2 - 4*a*b + b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^3 - 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x)
^5 + 6*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 - 30*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh
(x)^2 + 24*a^2 + 12*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^5 - 10*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*c
osh(x)^3 + 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(8*a^2 + 4*a*
b - b^2)*cosh(x)^6 - 15*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^4 + 9*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^2 - 8*a^2 - 4*a*b +
b^2)*sinh(x)^2 + 8*a^2 + 4*a*b - b^2 + 8*((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^7 - 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^5
+ 3*(8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x)^3 - (8*a^2 + 4*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)
^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)
^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*
(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x
) + a + b)) - 4*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^
2 - a^2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 3
0*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*cosh(x)^2 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*
sinh(x)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7
- 3*a^2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cos
h(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)
^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*si
nh(x)^4 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*
b + b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) - 4*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(
x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*
a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*c
osh(x)^2 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh
(x)^4 + 9*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*co
sh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(
((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^
4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*si
nh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - sqrt(2)*((6*a^2 + a*b)*cosh(x)^6 + 6*(6*
a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (6*a^2 + a*b)*sinh(x)^6 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x)^4 + (15*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^2
+ 2*a^2 - a*b)*sinh(x)^4 + 4*(5*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*co
sh(x)^2 + (15*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 6*(2*a^2 - a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 - a*b)*sinh(x)^2 + 6*a^2 + a*b + 2*(
3*(6*a^2 + a*b)*cosh(x)^5 + 2*(2*a^2 - a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^
2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*si
nh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 - 4*a^2*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)^4 + 8*(7*a^2*c
osh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 - 30*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2)*sinh(x)^4 - 4*a^2*cosh(x
)^2 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 - 10*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 - 15*a^2*cosh(x)^4
+ 9*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 - 3*a^2*cosh(x)^5 + 3*a^2*cosh(x)^3 - a^2*cosh(x)
)*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)**5*(a+b*tanh(x)**2)**(1/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: NotImplementedError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^5*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: NotImplementedError