### 3.213 $$\int \sqrt{a+b \tanh ^2(x)} \, dx$$

Optimal. Leaf size=60 $\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )$

[Out]

-(Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a
+ b*Tanh[x]^2]]

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.047025, antiderivative size = 60, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 12, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.417, Rules used = {3661, 402, 217, 206, 377} $\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

-(Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a
+ b*Tanh[x]^2]]

Rule 3661

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x]
, x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(a + b*(ff*x)^n)^p/(c^2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ
[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && (IntegersQ[n, p] || IGtQ[p, 0] || EqQ[n^2, 4] || EqQ[n^2, 16])

Rule 402

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Dist[b/d, Int[(a + b*x^2)^(p - 1), x], x]
- Dist[(b*c - a*d)/d, Int[(a + b*x^2)^(p - 1)/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && GtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1/2] || EqQ[Denominator[p], 4])

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rubi steps

\begin{align*} \int \sqrt{a+b \tanh ^2(x)} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x^2}}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\left ((-a-b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\right )-b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\left ((-a-b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )\right )-b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )\\ &=-\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )+\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 0.213137, size = 137, normalized size = 2.28 $\frac{1}{2} \left (-2 \sqrt{b} \log \left (\sqrt{b} \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+b \tanh (x)\right )-\sqrt{a+b} \log \left (\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+a-b \tanh (x)\right )+\sqrt{a+b} \log \left (\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+a+b \tanh (x)\right )-\sqrt{a+b} \log (1-\tanh (x))+\sqrt{a+b} \log (\tanh (x)+1)\right )$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

(-(Sqrt[a + b]*Log[1 - Tanh[x]]) + Sqrt[a + b]*Log[1 + Tanh[x]] - 2*Sqrt[b]*Log[b*Tanh[x] + Sqrt[b]*Sqrt[a + b
*Tanh[x]^2]] - Sqrt[a + b]*Log[a - b*Tanh[x] + Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] + Sqrt[a + b]*Log[a + b*Tanh
[x] + Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/2

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.046, size = 238, normalized size = 4. \begin{align*}{\frac{1}{2}\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b}}-{\frac{1}{2}\sqrt{b}\ln \left ({( \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b-b){\frac{1}{\sqrt{b}}}}+\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b} \right ) }-{\frac{1}{2}\sqrt{a+b}\ln \left ({\frac{1}{1+\tanh \left ( x \right ) } \left ( 2\,a+2\,b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+2\,\sqrt{a+b}\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b} \right ) } \right ) }-{\frac{1}{2}\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b}}-{\frac{1}{2}\sqrt{b}\ln \left ({( \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+b){\frac{1}{\sqrt{b}}}}+\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b} \right ) }+{\frac{1}{2}\sqrt{a+b}\ln \left ({\frac{1}{\tanh \left ( x \right ) -1} \left ( 2\,a+2\,b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+2\,\sqrt{a+b}\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b} \right ) } \right ) } \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x)

[Out]

1/2*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)-1/2*b^(1/2)*ln(((1+tanh(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+tanh(x))^2*b-2*(1
+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))-1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x
))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))-1/2*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)-1/2*b^(1/2)*ln(((tanh(x)-1)*b+b)
/b^(1/2)+((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))+1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2
)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \tanh \left (x\right )^{2} + a}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*tanh(x)^2 + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.68879, size = 9993, normalized size = 166.55 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 -
2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*
cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^
3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*c
osh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b +
3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh
(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^
6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2
*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2
- a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b -
3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(
x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2
+ 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^
4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 1/2*sqrt(b
)*log(-((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*
(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b
)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a +
2*b)*cosh(x)^3 + (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cos
h(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 1/4*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cos
h(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)
^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sin
h(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a +
b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)), sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a
+ b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + 1/4*sqrt(a + b
)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b
^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(
a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 +
a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(
a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3
+ 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3
*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(
x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*
b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b
+ 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))
*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + si
nh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(
x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 2
0*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 1/4*sqrt(a + b)*log(((a +
b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*
sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a +
b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x
) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)), -1/2*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*c
osh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(
x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*
sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*
a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) - 1/2*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt
(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 +
a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b
)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)
*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + 1/2*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b
)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2
*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*
cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*
cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x)
+ 1)), -1/2*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)
*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2
)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*
b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*
b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) - 1/2*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1
)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2
))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*c
osh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + sqrt(-b)*arctan(sqrt
(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a -
b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*si
nh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cos
h(x))*sinh(x) + a + b))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)**2)**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*tanh(x)**2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: NotImplementedError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: NotImplementedError