### 3.209 $$\int \tanh ^4(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)} \, dx$$

Optimal. Leaf size=121 $\frac{\left (a^2-4 a b-8 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{8 b^{3/2}}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{(a+4 b) \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 b}+\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )$

[Out]

((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/(8*b^(3/2)) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sq
rt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - ((a + 4*b)*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(8*b) - (Tanh[x]^3*Sqrt[
a + b*Tanh[x]^2])/4

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.200288, antiderivative size = 121, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 7, integrand size = 17, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.412, Rules used = {3670, 478, 582, 523, 217, 206, 377} $\frac{\left (a^2-4 a b-8 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{8 b^{3/2}}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}-\frac{(a+4 b) \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 b}+\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Tanh[x]^4*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/(8*b^(3/2)) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sq
rt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - ((a + 4*b)*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(8*b) - (Tanh[x]^3*Sqrt[
a + b*Tanh[x]^2])/4

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 478

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e^(n -
1)*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q)/(b*(m + n*(p + q) + 1)), x] - Dist[e^n/(b*(m + n*(p +
q) + 1)), Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[a*c*(m - n + 1) + (a*d*(m - n + 1) - n*q*(b
*c - a*d))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[q, 0] &&
GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 582

Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
x_Symbol] :> Simp[(f*g^(n - 1)*(g*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*d*(m + n*(p + q
+ 1) + 1)), x] - Dist[g^n/(b*d*(m + n*(p + q + 1) + 1)), Int[(g*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*Simp[a*
f*c*(m - n + 1) + (a*f*d*(m + n*q + 1) + b*(f*c*(m + n*p + 1) - e*d*(m + n*(p + q + 1) + 1)))*x^n, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p, q}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rubi steps

\begin{align*} \int \tanh ^4(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4 \sqrt{a+b x^2}}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+\frac{1}{4} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2 \left (3 a+(a+4 b) x^2\right )}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac{(a+4 b) \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 b}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a (a+4 b)+\left (-a^2+4 a b+8 b^2\right ) x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{8 b}\\ &=-\frac{(a+4 b) \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 b}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+(a+b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )+\frac{\left (a^2-4 a b-8 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{8 b}\\ &=-\frac{(a+4 b) \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 b}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}+(a+b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )+\frac{\left (a^2-4 a b-8 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{8 b}\\ &=\frac{\left (a^2-4 a b-8 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{8 b^{3/2}}+\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac{(a+4 b) \tanh (x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}}{8 b}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b \tanh ^2(x)}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 6.16749, size = 580, normalized size = 4.79 $\sqrt{\frac{a \cosh (2 x)+a+b \cosh (2 x)-b}{\cosh (2 x)+1}} \left (\frac{\text{sech}(x) (-a \sinh (x)-6 b \sinh (x))}{8 b}+\frac{1}{4} \tanh (x) \text{sech}^2(x)\right )+\frac{-\frac{b \left (a^2-4 b^2\right ) \sinh ^4(x) \text{csch}(2 x) \sqrt{\frac{(a+b) \cosh (2 x)+a-b}{\cosh (2 x)+1}} \sqrt{-\frac{a \coth ^2(x)}{b}} \sqrt{-\frac{a (\cosh (2 x)+1) \text{csch}^2(x)}{b}} \sqrt{\frac{\text{csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}} \text{EllipticF}\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{\text{csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}}}{\sqrt{2}}\right ),1\right )}{a ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}-\frac{4 i b \left (4 a b+4 b^2\right ) \sqrt{\cosh (2 x)+1} \sqrt{\frac{(a+b) \cosh (2 x)+a-b}{\cosh (2 x)+1}} \left (\frac{i \sinh ^4(x) \text{csch}(2 x) \sqrt{-\frac{a \coth ^2(x)}{b}} \sqrt{-\frac{a (\cosh (2 x)+1) \text{csch}^2(x)}{b}} \sqrt{\frac{\text{csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}} \Pi \left (\frac{b}{a+b};\left .\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{(a-b+(a+b) \cosh (2 x)) \text{csch}^2(x)}{b}}}{\sqrt{2}}\right )\right |1\right )}{2 (a+b) \sqrt{\cosh (2 x)+1} \sqrt{(a+b) \cosh (2 x)+a-b}}-\frac{i \sinh ^4(x) \text{csch}(2 x) \sqrt{-\frac{a \coth ^2(x)}{b}} \sqrt{-\frac{a (\cosh (2 x)+1) \text{csch}^2(x)}{b}} \sqrt{\frac{\text{csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}} \text{EllipticF}\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{\text{csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}}}{\sqrt{2}}\right ),1\right )}{4 a \sqrt{\cosh (2 x)+1} \sqrt{(a+b) \cosh (2 x)+a-b}}\right )}{\sqrt{(a+b) \cosh (2 x)+a-b}}}{4 b}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Tanh[x]^4*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

(-((b*(a^2 - 4*b^2)*Sqrt[(a - b + (a + b)*Cosh[2*x])/(1 + Cosh[2*x])]*Sqrt[-((a*Coth[x]^2)/b)]*Sqrt[-((a*(1 +
Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b)]*Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]*Csch[2*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((a
- b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]/Sqrt[2]], 1]*Sinh[x]^4)/(a*(a - b + (a + b)*Cosh[2*x]))) - ((4*I)*b*(4*
a*b + 4*b^2)*Sqrt[1 + Cosh[2*x]]*Sqrt[(a - b + (a + b)*Cosh[2*x])/(1 + Cosh[2*x])]*(((-I/4)*Sqrt[-((a*Coth[x]^
2)/b)]*Sqrt[-((a*(1 + Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b)]*Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]*Csch[2*x]*Elli
pticF[ArcSin[Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]/Sqrt[2]], 1]*Sinh[x]^4)/(a*Sqrt[1 + Cosh[2*x]]*Sq
rt[a - b + (a + b)*Cosh[2*x]]) + ((I/2)*Sqrt[-((a*Coth[x]^2)/b)]*Sqrt[-((a*(1 + Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b)]*Sqrt
[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]*Csch[2*x]*EllipticPi[b/(a + b), ArcSin[Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh
[2*x])*Csch[x]^2)/b]/Sqrt[2]], 1]*Sinh[x]^4)/((a + b)*Sqrt[1 + Cosh[2*x]]*Sqrt[a - b + (a + b)*Cosh[2*x]])))/S
qrt[a - b + (a + b)*Cosh[2*x]])/(4*b) + Sqrt[(a - b + a*Cosh[2*x] + b*Cosh[2*x])/(1 + Cosh[2*x])]*((Sech[x]*(-
(a*Sinh[x]) - 6*b*Sinh[x]))/(8*b) + (Sech[x]^2*Tanh[x])/4)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.049, size = 337, normalized size = 2.8 \begin{align*} -{\frac{\tanh \left ( x \right ) }{4\,b} \left ( a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2} \right ) ^{{\frac{3}{2}}}}+{\frac{a\tanh \left ( x \right ) }{8\,b}\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}}}+{\frac{{a}^{2}}{8}\ln \left ( \tanh \left ( x \right ) \sqrt{b}+\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}} \right ){b}^{-{\frac{3}{2}}}}-{\frac{\tanh \left ( x \right ) }{2}\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}}}-{\frac{a}{2}\ln \left ( \tanh \left ( x \right ) \sqrt{b}+\sqrt{a+b \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}} \right ){\frac{1}{\sqrt{b}}}}+{\frac{1}{2}\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b}}-{\frac{1}{2}\sqrt{b}\ln \left ({( \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b-b){\frac{1}{\sqrt{b}}}}+\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b} \right ) }-{\frac{1}{2}\sqrt{a+b}\ln \left ({\frac{1}{1+\tanh \left ( x \right ) } \left ( 2\,a+2\,b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+2\,\sqrt{a+b}\sqrt{ \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) ^{2}b-2\, \left ( 1+\tanh \left ( x \right ) \right ) b+a+b} \right ) } \right ) }-{\frac{1}{2}\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b}}-{\frac{1}{2}\sqrt{b}\ln \left ({( \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+b){\frac{1}{\sqrt{b}}}}+\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b} \right ) }+{\frac{1}{2}\sqrt{a+b}\ln \left ({\frac{1}{\tanh \left ( x \right ) -1} \left ( 2\,a+2\,b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+2\,\sqrt{a+b}\sqrt{ \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) ^{2}b+2\, \left ( \tanh \left ( x \right ) -1 \right ) b+a+b} \right ) } \right ) } \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^4,x)

[Out]

-1/4*tanh(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(3/2)/b+1/8*a/b*tanh(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)+1/8*a^2/b^(3/2)*ln(tanh(x)*b^(1/2)+
(a+b*tanh(x)^2)^(1/2))-1/2*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)-1/2*a/b^(1/2)*ln(tanh(x)*b^(1/2)+(a+b*tanh(x)^2)^(1/2
))+1/2*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)-1/2*b^(1/2)*ln(((1+tanh(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+tanh(x))^2*b-2
*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))-1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tan
h(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))-1/2*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)-1/2*b^(1/2)*ln(((tanh(x)-1)*b
+b)/b^(1/2)+((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))+1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(
1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \tanh \left (x\right )^{2} + a} \tanh \left (x\right )^{4}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*tanh(x)^2 + a)*tanh(x)^4, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 7.35727, size = 25867, normalized size = 213.78 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*(4*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2
)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*c
osh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)
^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2
*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^
3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 +
b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*
b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b
^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b
^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(
a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b
^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4
+ 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*
cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b
^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 +
(a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a
*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)
)/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4
+ 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) - ((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)*sinh(
x)^7 + (a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x
)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))
*sinh(x)^5 + 6*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 - 4*a*b - 8*b
^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 - 12*a*b - 24*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 - 4*a*b -
8*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2
- 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - 4*
a*b - 8*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2 + 8*((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*co
sh(x)^5 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*
cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(
x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*co
sh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (
a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x
)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 4*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*s
inh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^
2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*
cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x
)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt
(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b
)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)
*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 +
a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt(2)*((a*b + 6*b^2)*cosh(x)^6
+ 6*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a*b + 6*b^2)*sinh(x)^6 + (a*b - 2*b^2)*cosh(x)^4 + (15*(a*b + 6*b^2)*co
sh(x)^2 + a*b - 2*b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^3 + (a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a*b - 2*
b^2)*cosh(x)^2 + (15*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^4 + 6*(a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 - a*b + 2*b^2)*sinh(x)^2 - a*b - 6*b^
2 + 2*(3*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^5 + 2*(a*b - 2*b^2)*cosh(x)^3 - (a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*c
osh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cos
h(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(
7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2
*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*co
sh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*
cosh(x))*sinh(x)), -1/8*(((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 -
4*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - 4
*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 +
6*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2
+ 3*a^2 - 12*a*b - 24*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x
)^3 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b
^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*
sinh(x)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2 + 8*((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^5 + 3*(
a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 +
2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 -
2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a -
b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a
+ b)) - 2*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b
^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2
*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(
x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b
^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 +
b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2
+ b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^
2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2
*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a
*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14
*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6
*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^
4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2
)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3
*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2
+ (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*
(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(
x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^
4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) - 2*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cos
h(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5
+ 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*c
osh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2
+ b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a + b)
*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sin
h(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)
*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) +
a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + sqrt(2)*((a*b + 6*b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a*b + 6*b^2)*cosh
(x)*sinh(x)^5 + (a*b + 6*b^2)*sinh(x)^6 + (a*b - 2*b^2)*cosh(x)^4 + (15*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^2 + a*b - 2*b^2)
*sinh(x)^4 + 4*(5*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^3 + (a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (15*(
a*b + 6*b^2)*cosh(x)^4 + 6*(a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 - a*b + 2*b^2)*sinh(x)^2 - a*b - 6*b^2 + 2*(3*(a*b + 6*b^2)
*cosh(x)^5 + 2*(a*b - 2*b^2)*cosh(x)^3 - (a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sin
h(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*s
inh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^
2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*
cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x
)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)), -1/
16*(8*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*s
inh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh
(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3
+ 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*co
sh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(
x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cos
h(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 +
(a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 +
2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + 8*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)
^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x
)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 +
8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*
b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sin
h(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*c
osh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a +
b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 +
4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 - 4*a*b
- 8*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 -
4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - 4
*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 +
30*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 - 12*a*b - 24*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^
5 + 10*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*
cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2
)*cosh(x)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2 + 8*((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a
^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^5 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sq
rt(b)*log(-((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2
+ 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sq
rt(b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((
a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3
*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*((a*b + 6*b^2)*cos
h(x)^6 + 6*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a*b + 6*b^2)*sinh(x)^6 + (a*b - 2*b^2)*cosh(x)^4 + (15*(a*b + 6*
b^2)*cosh(x)^2 + a*b - 2*b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^3 + (a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a
*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (15*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^4 + 6*(a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 - a*b + 2*b^2)*sinh(x)^2 - a*b
- 6*b^2 + 2*(3*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^5 + 2*(a*b - 2*b^2)*cosh(x)^3 - (a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a
+ b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b^2*cosh(x)^8 + 8*
b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^
4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4
+ 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15
*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3
+ b^2*cosh(x))*sinh(x)), -1/8*(4*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 +
4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35
*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3
+ 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 +
8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*c
osh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2
+ a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^
3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh
(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + 4*(b^2*cosh(
x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2
*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*s
inh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(
x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*
cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*
sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))
/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cos
h(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)
*cosh(x)^8 + 8*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 - 4*a*b - 8*
b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 - 4*a*b - 8
*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2
- 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 - 12*a*b - 24*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a
^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^
3 + 4*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x
)^4 + 9*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 - 4*a*b - 8*b^2 + 8*((a^2 - 4*a
*b - 8*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^5 + 3*(a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - 4*a*b -
8*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqr
t(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x
)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*
sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + sqrt(2)*((a*b + 6*b^2)*cosh(x)^6 + 6*(
a*b + 6*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a*b + 6*b^2)*sinh(x)^6 + (a*b - 2*b^2)*cosh(x)^4 + (15*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)
^2 + a*b - 2*b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^3 + (a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a*b - 2*b^2)*
cosh(x)^2 + (15*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^4 + 6*(a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 - a*b + 2*b^2)*sinh(x)^2 - a*b - 6*b^2 + 2
*(3*(a*b + 6*b^2)*cosh(x)^5 + 2*(a*b - 2*b^2)*cosh(x)^3 - (a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x
)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*
sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2
*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh
(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)
^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(
x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}} \tanh ^{4}{\left (x \right )}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)**2)**(1/2)*tanh(x)**4,x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*tanh(x)**2)*tanh(x)**4, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: NotImplementedError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^4,x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: NotImplementedError