### 3.190 $$\int \frac{\tanh ^6(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^3} \, dx$$

Optimal. Leaf size=144 $-\frac{\sqrt{a} \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 b^{5/2} d (a+b)^3}+\frac{a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 d (a+b)^2 \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}+\frac{a \tanh ^3(c+d x)}{4 b d (a+b) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{x}{(a+b)^3}$

[Out]

x/(a + b)^3 - (Sqrt[a]*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*b^(5/2)*(a + b)^3
*d) + (a*Tanh[c + d*x]^3)/(4*b*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (a*(3*a + 7*b)*Tanh[c + d*x])/(8*b^2*(a
+ b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.208249, antiderivative size = 144, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 23, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.261, Rules used = {3670, 470, 578, 522, 206, 205} $-\frac{\sqrt{a} \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 b^{5/2} d (a+b)^3}+\frac{a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 d (a+b)^2 \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}+\frac{a \tanh ^3(c+d x)}{4 b d (a+b) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{x}{(a+b)^3}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Tanh[c + d*x]^6/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

x/(a + b)^3 - (Sqrt[a]*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*b^(5/2)*(a + b)^3
*d) + (a*Tanh[c + d*x]^3)/(4*b*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (a*(3*a + 7*b)*Tanh[c + d*x])/(8*b^2*(a
+ b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 470

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(a*e^(2
*n - 1)*(e*x)^(m - 2*n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[e^(2
*n)/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - 2*n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[a*c*(m - 2*n + 1) +
(a*d*(m - n + n*q + 1) + b*c*n*(p + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m - n + 1, n] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 578

Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x
_Symbol] :> Simp[(g^(n - 1)*(b*e - a*f)*(g*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*n*(b*c -
a*d)*(p + 1)), x] - Dist[g^n/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), Int[(g*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*S
imp[c*(b*e - a*f)*(m - n + 1) + (d*(b*e - a*f)*(m + n*q + 1) - b*n*(c*f - d*e)*(p + 1))*x^n, x], x], x] /; Fre
eQ[{a, b, c, d, e, f, g, q}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m - n + 1, 0]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tanh ^6(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^6}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^3} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{a \tanh ^3(c+d x)}{4 b (a+b) d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2 \left (3 a+(-3 a-4 b) x^2\right )}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{4 b (a+b) d}\\ &=\frac{a \tanh ^3(c+d x)}{4 b (a+b) d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 (a+b)^2 d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a (3 a+7 b)+\left (-3 a^2-7 a b-8 b^2\right ) x^2}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{8 b^2 (a+b)^2 d}\\ &=\frac{a \tanh ^3(c+d x)}{4 b (a+b) d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 (a+b)^2 d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{(a+b)^3 d}-\frac{\left (a \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b x^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{8 b^2 (a+b)^3 d}\\ &=\frac{x}{(a+b)^3}-\frac{\sqrt{a} \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 b^{5/2} (a+b)^3 d}+\frac{a \tanh ^3(c+d x)}{4 b (a+b) d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 (a+b)^2 d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.18233, size = 144, normalized size = 1. $\frac{-\frac{\sqrt{a} \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{b^{5/2}}-\frac{4 a^2 (a+b) \sinh (2 (c+d x))}{b ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)^2}+\frac{3 a (a+b) (a+3 b) \sinh (2 (c+d x))}{b^2 ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)}+8 (c+d x)}{8 d (a+b)^3}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Tanh[c + d*x]^6/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

(8*(c + d*x) - (Sqrt[a]*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/b^(5/2) - (4*a^2*(a
+ b)*Sinh[2*(c + d*x)])/(b*(a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)])^2) + (3*a*(a + b)*(a + 3*b)*Sinh[2*(c + d*x)])
/(b^2*(a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)])))/(8*(a + b)^3*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.027, size = 352, normalized size = 2.4 \begin{align*}{\frac{\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) +1 \right ) }{2\,d \left ( a+b \right ) ^{3}}}+{\frac{5\,{a}^{3} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{3}}{8\,d \left ( a+b \right ) ^{3} \left ( a+b \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2} \right ) ^{2}b}}+{\frac{7\,{a}^{2} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{3}}{4\,d \left ( a+b \right ) ^{3} \left ( a+b \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2} \right ) ^{2}}}+{\frac{9\,ab \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{3}}{8\,d \left ( a+b \right ) ^{3} \left ( a+b \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2} \right ) ^{2}}}+{\frac{3\,{a}^{4}\tanh \left ( dx+c \right ) }{8\,d \left ( a+b \right ) ^{3} \left ( a+b \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2} \right ) ^{2}{b}^{2}}}+{\frac{5\,{a}^{3}\tanh \left ( dx+c \right ) }{4\,d \left ( a+b \right ) ^{3} \left ( a+b \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2} \right ) ^{2}b}}+{\frac{7\,{a}^{2}\tanh \left ( dx+c \right ) }{8\,d \left ( a+b \right ) ^{3} \left ( a+b \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2} \right ) ^{2}}}-{\frac{3\,{a}^{3}}{8\,d \left ( a+b \right ) ^{3}{b}^{2}}\arctan \left ({b\tanh \left ( dx+c \right ){\frac{1}{\sqrt{ab}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{ab}}}}-{\frac{5\,{a}^{2}}{4\,d \left ( a+b \right ) ^{3}b}\arctan \left ({b\tanh \left ( dx+c \right ){\frac{1}{\sqrt{ab}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{ab}}}}-{\frac{15\,a}{8\,d \left ( a+b \right ) ^{3}}\arctan \left ({b\tanh \left ( dx+c \right ){\frac{1}{\sqrt{ab}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{ab}}}}-{\frac{\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) -1 \right ) }{2\,d \left ( a+b \right ) ^{3}}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(d*x+c)^6/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

1/2/d/(a+b)^3*ln(tanh(d*x+c)+1)+5/8/d/(a+b)^3*a^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2/b*tanh(d*x+c)^3+7/4/d/(a+b)^3*a^2/(a+b
*tanh(d*x+c)^2)^2*tanh(d*x+c)^3+9/8/d/(a+b)^3*a/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2*b*tanh(d*x+c)^3+3/8/d/(a+b)^3*a^4/(a+b*t
anh(d*x+c)^2)^2/b^2*tanh(d*x+c)+5/4/d/(a+b)^3*a^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2/b*tanh(d*x+c)+7/8/d/(a+b)^3*a^2/(a+b*t
anh(d*x+c)^2)^2*tanh(d*x+c)-3/8/d/(a+b)^3*a^3/b^2/(a*b)^(1/2)*arctan(tanh(d*x+c)*b/(a*b)^(1/2))-5/4/d/(a+b)^3*
a^2/b/(a*b)^(1/2)*arctan(tanh(d*x+c)*b/(a*b)^(1/2))-15/8/d/(a+b)^3*a/(a*b)^(1/2)*arctan(tanh(d*x+c)*b/(a*b)^(1
/2))-1/2/d/(a+b)^3*ln(tanh(d*x+c)-1)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)^6/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.47518, size = 17204, normalized size = 119.47 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)^6/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*(16*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^8 + 128*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)*sinh
(d*x + c)^7 + 16*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*sinh(d*x + c)^8 - 4*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*
(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^2 - 3*a^4 - 13*a^3*b
- a^2*b^2 + 9*a*b^3 + 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x
+ c)^3 - 3*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 4
*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(280*(a^2
*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^4 - 9*a^4 - 21*a^3*b + 9*a^2*b^2 - 27*a*b^3 + 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 +
3*b^4)*d*x - 15*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c
)^4 - 12*a^4 - 60*a^3*b - 84*a^2*b^2 - 36*a*b^3 + 16*(56*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^5 - 5*(3*
a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - (9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 +
27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 16*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)
*d*x - 4*(9*a^4 + 23*a^3*b - 13*a^2*b^2 - 27*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(112*(a^2*b^2
+ 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^6 - 15*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cos
h(d*x + c)^4 - 9*a^4 - 23*a^3*b + 13*a^2*b^2 + 27*a*b^3 + 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x - 6*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2
*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + ((3*a^4 + 16*a^3*b +
38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(
d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(3*a^4 + 10
*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^
4 + 7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(3*a^4 + 16*
a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4
)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(3*a^4 +
16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4 + 30*(3*a
^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b
^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4 + 8*(7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(3*a^4
+ 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d
*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(3*a^4
+ 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 -
15*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4 + 3*(9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^
2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x
+ c)^7 + 3*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + (9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b
^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c
))*sqrt(-a/b)*log(((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 +
(a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^
2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^2 + a^2 - 6*a*b + b^2 + 4*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (a^2 - b^2)*cosh
(d*x + c))*sinh(d*x + c) - 4*((a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + (a*b +
b^2)*sinh(d*x + c)^2 + a*b - b^2)*sqrt(-a/b))/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c
)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x + c
)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) + 8*(16*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 +
b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^7 - 3*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^5
- 2*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - (9*a^4 +
23*a^3*b - 13*a^2*b^2 - 27*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/((a^5*b^2 + 5*a^4*b^
3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*
b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^
6 + b^7)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^6
+ 4*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5*b^2 + 3*a^4*b
^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*
b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7
)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*
x + c)^5 + 2*(35*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^5*b
^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4
+ 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6
- b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c
)^5 + 10*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*
b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 +
10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 -
3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh
(d*x + c)^2 + (a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d)*sinh(d*x + c)^2 + (a^5*b^2 + 5*
a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d + 8*((a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a
*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c
)^5 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^5*b^2 + 3*a^4*b
^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)), 1/8*(8*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*
d*x*cosh(d*x + c)^8 + 64*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + 8*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 +
b^4)*d*x*sinh(d*x + c)^8 - 2*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 +
2*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^2 - 3*a^4 - 13*a^3*b - a^2*b^2 + 9*a*b^3 + 16*(a^2*b^2 - b
^4)*d*x)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^3 - 3*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^
2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 2*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*
b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(280*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c
)^4 - 9*a^4 - 21*a^3*b + 9*a^2*b^2 - 27*a*b^3 + 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x - 15*(3*a^4 + 13*a^3*b + a
^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 - 6*a^4 - 30*a^3*b - 42*a^2*b^2 -
18*a*b^3 + 8*(56*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^5 - 5*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*
(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - (9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b
^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 8*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x - 2*(9*a^4 + 23*a^3*b - 13*a^2*b^2 -
27*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^6 - 1
5*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 - 9*a^4 - 23*a^3*b + 13*a^2*
b^2 + 27*a*b^3 + 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x - 6*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3
+ 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 - ((3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x
+ c)^8 + 8*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (3*a^4 + 16*a^
3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*
cosh(d*x + c)^6 + 4*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4 + 7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40
*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*c
osh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(9*a
^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^
4)*cosh(d*x + c)^4 + 9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4 + 30*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 1
5*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4 + 8*(7*(3*a^4 + 16
*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b
^4)*cosh(d*x + c)^3 + (9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(3*a^4 + 10*
a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*
b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 3*a^4 + 10*a^3
*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4 + 3*(9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c
)^2 + 8*((3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^
2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + (9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^4 + 1
0*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(a/b)*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x
+ c)^2 + 2*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + (a + b)*sinh(d*x + c)^2 + a - b)*sqrt(a/b)/a) + 4*(16*(a^2*b
^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^7 - 3*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*co
sh(d*x + c)^5 - 2*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c
)^3 - (9*a^4 + 23*a^3*b - 13*a^2*b^2 - 27*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/((a^5*
b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3
*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^
2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*c
osh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5
*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^
3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 +
5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x
+ c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)
^4 + 30*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*b
^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*
b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*
d*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^
5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^5*b^2
+ 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4
- 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 +
3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d)*sinh(d*x + c)^2 +
(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d + 8*((a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10
*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*
d*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^5
*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)**6/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.26636, size = 566, normalized size = 3.93 \begin{align*} -\frac{{\left (3 \, a^{3} + 10 \, a^{2} b + 15 \, a b^{2}\right )} \arctan \left (\frac{a e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + b e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + a - b}{2 \, \sqrt{a b}}\right )}{8 \,{\left (a^{3} b^{2} d + 3 \, a^{2} b^{3} d + 3 \, a b^{4} d + b^{5} d\right )} \sqrt{a b}} + \frac{d x + c}{a^{3} d + 3 \, a^{2} b d + 3 \, a b^{2} d + b^{3} d} - \frac{3 \, a^{4} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + 13 \, a^{3} b e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + a^{2} b^{2} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} - 9 \, a b^{3} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + 9 \, a^{4} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 21 \, a^{3} b e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} - 9 \, a^{2} b^{2} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 27 \, a b^{3} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 9 \, a^{4} e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + 23 \, a^{3} b e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - 13 \, a^{2} b^{2} e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - 27 \, a b^{3} e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + 3 \, a^{4} + 15 \, a^{3} b + 21 \, a^{2} b^{2} + 9 \, a b^{3}}{4 \,{\left (a^{3} b^{2} d + 3 \, a^{2} b^{3} d + 3 \, a b^{4} d + b^{5} d\right )}{\left (a e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + b e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + a + b\right )}^{2}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)^6/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/8*(3*a^3 + 10*a^2*b + 15*a*b^2)*arctan(1/2*(a*e^(2*d*x + 2*c) + b*e^(2*d*x + 2*c) + a - b)/sqrt(a*b))/((a^3
*b^2*d + 3*a^2*b^3*d + 3*a*b^4*d + b^5*d)*sqrt(a*b)) + (d*x + c)/(a^3*d + 3*a^2*b*d + 3*a*b^2*d + b^3*d) - 1/4
*(3*a^4*e^(6*d*x + 6*c) + 13*a^3*b*e^(6*d*x + 6*c) + a^2*b^2*e^(6*d*x + 6*c) - 9*a*b^3*e^(6*d*x + 6*c) + 9*a^4
*e^(4*d*x + 4*c) + 21*a^3*b*e^(4*d*x + 4*c) - 9*a^2*b^2*e^(4*d*x + 4*c) + 27*a*b^3*e^(4*d*x + 4*c) + 9*a^4*e^(
2*d*x + 2*c) + 23*a^3*b*e^(2*d*x + 2*c) - 13*a^2*b^2*e^(2*d*x + 2*c) - 27*a*b^3*e^(2*d*x + 2*c) + 3*a^4 + 15*a
^3*b + 21*a^2*b^2 + 9*a*b^3)/((a^3*b^2*d + 3*a^2*b^3*d + 3*a*b^4*d + b^5*d)*(a*e^(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x +
4*c) + 2*a*e^(2*d*x + 2*c) - 2*b*e^(2*d*x + 2*c) + a + b)^2)