### 3.159 $$\int \tanh (c+d x) (a+b \tanh ^2(c+d x))^3 \, dx$$

Optimal. Leaf size=83 $-\frac{b (a+b)^2 \tanh ^2(c+d x)}{2 d}-\frac{(a+b) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}{4 d}-\frac{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3}{6 d}+\frac{(a+b)^3 \log (\cosh (c+d x))}{d}$

[Out]

((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (b*(a + b)^2*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a + b)*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(
4*d) - (a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3/(6*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.101441, antiderivative size = 83, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 4, number of rules used = 3, integrand size = 21, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.143, Rules used = {3670, 444, 43} $-\frac{b (a+b)^2 \tanh ^2(c+d x)}{2 d}-\frac{(a+b) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}{4 d}-\frac{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3}{6 d}+\frac{(a+b)^3 \log (\cosh (c+d x))}{d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Tanh[c + d*x]*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (b*(a + b)^2*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a + b)*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(
4*d) - (a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3/(6*d)

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 444

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m
- n + 1, 0]

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \tanh (c+d x) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3 \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x \left (a+b x^2\right )^3}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+b x)^3}{1-x} \, dx,x,\tanh ^2(c+d x)\right )}{2 d}\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \left (-b (a+b)^2+\frac{(a+b)^3}{1-x}-b (a+b) (a+b x)-b (a+b x)^2\right ) \, dx,x,\tanh ^2(c+d x)\right )}{2 d}\\ &=\frac{(a+b)^3 \log (\cosh (c+d x))}{d}-\frac{b (a+b)^2 \tanh ^2(c+d x)}{2 d}-\frac{(a+b) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}{4 d}-\frac{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3}{6 d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.21378, size = 76, normalized size = 0.92 $-\frac{b (a+b)^2 \tanh ^2(c+d x)+\frac{1}{2} (a+b) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2+\frac{1}{3} \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3-2 (a+b)^3 \log (\cosh (c+d x))}{2 d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Tanh[c + d*x]*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

-(-2*(a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]] + b*(a + b)^2*Tanh[c + d*x]^2 + ((a + b)*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2)/2 + (a +
b*Tanh[c + d*x]^2)^3/3)/(2*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.006, size = 241, normalized size = 2.9 \begin{align*} -{\frac{{a}^{3}\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) -1 \right ) }{2\,d}}-{\frac{3\,\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) -1 \right ){a}^{2}b}{2\,d}}-{\frac{3\,\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) -1 \right ) a{b}^{2}}{2\,d}}-{\frac{\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) -1 \right ){b}^{3}}{2\,d}}-{\frac{{b}^{3} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{6}}{6\,d}}-{\frac{{b}^{3} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{4}}{4\,d}}-{\frac{{b}^{3} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2}}{2\,d}}-{\frac{3\, \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{4}a{b}^{2}}{4\,d}}-{\frac{3\,{a}^{2}b \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2}}{2\,d}}-{\frac{3\, \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2}a{b}^{2}}{2\,d}}-{\frac{\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) +1 \right ){a}^{3}}{2\,d}}-{\frac{3\,\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) +1 \right ){a}^{2}b}{2\,d}}-{\frac{3\,\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) +1 \right ) a{b}^{2}}{2\,d}}-{\frac{\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) +1 \right ){b}^{3}}{2\,d}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(d*x+c)*(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

-1/2/d*a^3*ln(tanh(d*x+c)-1)-3/2/d*ln(tanh(d*x+c)-1)*a^2*b-3/2/d*ln(tanh(d*x+c)-1)*a*b^2-1/2/d*ln(tanh(d*x+c)-
1)*b^3-1/6*b^3*tanh(d*x+c)^6/d-1/4*b^3*tanh(d*x+c)^4/d-1/2/d*b^3*tanh(d*x+c)^2-3/4/d*tanh(d*x+c)^4*a*b^2-3/2*a
^2*b*tanh(d*x+c)^2/d-3/2/d*tanh(d*x+c)^2*a*b^2-1/2/d*ln(tanh(d*x+c)+1)*a^3-3/2/d*ln(tanh(d*x+c)+1)*a^2*b-3/2/d
*ln(tanh(d*x+c)+1)*a*b^2-1/2/d*ln(tanh(d*x+c)+1)*b^3

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.5997, size = 474, normalized size = 5.71 \begin{align*} \frac{1}{3} \, b^{3}{\left (3 \, x + \frac{3 \, c}{d} + \frac{3 \, \log \left (e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + 1\right )}{d} + \frac{2 \,{\left (9 \, e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + 18 \, e^{\left (-4 \, d x - 4 \, c\right )} + 34 \, e^{\left (-6 \, d x - 6 \, c\right )} + 18 \, e^{\left (-8 \, d x - 8 \, c\right )} + 9 \, e^{\left (-10 \, d x - 10 \, c\right )}\right )}}{d{\left (6 \, e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + 15 \, e^{\left (-4 \, d x - 4 \, c\right )} + 20 \, e^{\left (-6 \, d x - 6 \, c\right )} + 15 \, e^{\left (-8 \, d x - 8 \, c\right )} + 6 \, e^{\left (-10 \, d x - 10 \, c\right )} + e^{\left (-12 \, d x - 12 \, c\right )} + 1\right )}}\right )} + 3 \, a b^{2}{\left (x + \frac{c}{d} + \frac{\log \left (e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + 1\right )}{d} + \frac{4 \,{\left (e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + e^{\left (-4 \, d x - 4 \, c\right )} + e^{\left (-6 \, d x - 6 \, c\right )}\right )}}{d{\left (4 \, e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + 6 \, e^{\left (-4 \, d x - 4 \, c\right )} + 4 \, e^{\left (-6 \, d x - 6 \, c\right )} + e^{\left (-8 \, d x - 8 \, c\right )} + 1\right )}}\right )} + 3 \, a^{2} b{\left (x + \frac{c}{d} + \frac{\log \left (e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + 1\right )}{d} + \frac{2 \, e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )}}{d{\left (2 \, e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + e^{\left (-4 \, d x - 4 \, c\right )} + 1\right )}}\right )} + \frac{a^{3} \log \left (\cosh \left (d x + c\right )\right )}{d} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)*(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/3*b^3*(3*x + 3*c/d + 3*log(e^(-2*d*x - 2*c) + 1)/d + 2*(9*e^(-2*d*x - 2*c) + 18*e^(-4*d*x - 4*c) + 34*e^(-6*
d*x - 6*c) + 18*e^(-8*d*x - 8*c) + 9*e^(-10*d*x - 10*c))/(d*(6*e^(-2*d*x - 2*c) + 15*e^(-4*d*x - 4*c) + 20*e^(
-6*d*x - 6*c) + 15*e^(-8*d*x - 8*c) + 6*e^(-10*d*x - 10*c) + e^(-12*d*x - 12*c) + 1))) + 3*a*b^2*(x + c/d + lo
g(e^(-2*d*x - 2*c) + 1)/d + 4*(e^(-2*d*x - 2*c) + e^(-4*d*x - 4*c) + e^(-6*d*x - 6*c))/(d*(4*e^(-2*d*x - 2*c)
+ 6*e^(-4*d*x - 4*c) + 4*e^(-6*d*x - 6*c) + e^(-8*d*x - 8*c) + 1))) + 3*a^2*b*(x + c/d + log(e^(-2*d*x - 2*c)
+ 1)/d + 2*e^(-2*d*x - 2*c)/(d*(2*e^(-2*d*x - 2*c) + e^(-4*d*x - 4*c) + 1))) + a^3*log(cosh(d*x + c))/d

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.62292, size = 10689, normalized size = 128.78 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)*(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/3*(3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^12 + 36*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x
+ c)*sinh(d*x + c)^11 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*sinh(d*x + c)^12 - 18*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 -
(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^10 + 18*(11*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x +
c)^2 - a^2*b - 2*a*b^2 - b^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*sinh(d*x + c)^10 + 60*(11*(a^3 + 3*a^2*b +
3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^3 - 3*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x
+ c))*sinh(d*x + c)^9 - 9*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^
8 + 9*(165*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^4 - 8*a^2*b - 12*a*b^2 - 4*b^3 + 5*(a^3 + 3*a^2*b
+ 3*a*b^2 + b^3)*d*x - 90*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh
(d*x + c)^8 + 72*(33*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^5 - 30*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - (a^3 +
3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - (8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3
)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 - 4*(27*a^2*b + 36*a*b^2 + 17*b^3 - 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d
*x)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(693*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^6 - 945*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3
- (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 - 27*a^2*b - 36*a*b^2 - 17*b^3 + 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*
a*b^2 + b^3)*d*x - 63*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*si
nh(d*x + c)^6 + 24*(99*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^7 - 189*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - (a^3
+ 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 - 21*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2
+ b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - (27*a^2*b + 36*a*b^2 + 17*b^3 - 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*
x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 9*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)
^4 + 3*(495*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^8 - 1260*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - (a^3 + 3*a^2*b
+ 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 - 210*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d
*x)*cosh(d*x + c)^4 - 24*a^2*b - 36*a*b^2 - 12*b^3 + 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x - 20*(27*a^2*b + 3
6*a*b^2 + 17*b^3 - 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(165*(a^3 + 3*
a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^9 - 540*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)
*cosh(d*x + c)^7 - 126*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 -
20*(27*a^2*b + 36*a*b^2 + 17*b^3 - 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - 9*(8*a^2*b + 12*a
*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*
b^2 + b^3)*d*x - 18*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2 + 6*(33*(a^3
+ 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^10 - 135*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3
)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 - 42*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)
^6 - 10*(27*a^2*b + 36*a*b^2 + 17*b^3 - 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 - 3*a^2*b - 6*
a*b^2 - 3*b^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x - 9*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a
*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 - 3*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 12*(
a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^11 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(d*x + c)^
12 + 6*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 6*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 11*(a^3 + 3*a^2*b
+ 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 20*(11*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 +
3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*
x + c)^8 + 15*(33*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 18*(a^3 +
3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 24*(33*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x +
c)^5 + 30*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*s
inh(d*x + c)^7 + 20*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(231*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c
osh(d*x + c)^6 + 315*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 5*a^3 + 15*a^2*b + 15*a*b^2 + 5*b^3 + 1
05*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 24*(33*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c
osh(d*x + c)^7 + 63*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 35*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(
d*x + c)^3 + 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 +
b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 15*(33*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 +
b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 70*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 20
*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 20*(11*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cos
h(d*x + c)^9 + 36*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 42*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*
x + c)^5 + 20*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c
))*sinh(d*x + c)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 6*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2 + 6*(11
*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 45*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 70*(a
^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 50*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 3*a
^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 12*((a^3 + 3*a^2*
b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 10*(a^3 + 3*a^2*b +
3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 10*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b
^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*log(2*cosh(d*x + c)/
(cosh(d*x + c) - sinh(d*x + c))) + 12*(3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^11 - 15*(a^2*b + 2*
a*b^2 + b^3 - (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^9 - 6*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 +
3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^7 - 2*(27*a^2*b + 36*a*b^2 + 17*b^3 - 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2
+ b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 - 3*(8*a^2*b + 12*a*b^2 + 4*b^3 - 5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x
+ c)^3 - 3*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(d*cosh
(d*x + c)^12 + 12*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^11 + d*sinh(d*x + c)^12 + 6*d*cosh(d*x + c)^10 + 6*(11*d*cosh(
d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^10 + 20*(11*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + 15*d*cosh(d
*x + c)^8 + 15*(33*d*cosh(d*x + c)^4 + 18*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^8 + 24*(33*d*cosh(d*x + c)^5 +
30*d*cosh(d*x + c)^3 + 5*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 20*d*cosh(d*x + c)^6 + 4*(231*d*cosh(d*x + c)^6 +
315*d*cosh(d*x + c)^4 + 105*d*cosh(d*x + c)^2 + 5*d)*sinh(d*x + c)^6 + 24*(33*d*cosh(d*x + c)^7 + 63*d*cosh(d*
x + c)^5 + 35*d*cosh(d*x + c)^3 + 5*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 15*d*cosh(d*x + c)^4 + 15*(33*d*cosh(d*
x + c)^8 + 84*d*cosh(d*x + c)^6 + 70*d*cosh(d*x + c)^4 + 20*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^4 + 20*(11*d*
cosh(d*x + c)^9 + 36*d*cosh(d*x + c)^7 + 42*d*cosh(d*x + c)^5 + 20*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*d*cosh(d*x + c))*sinh
(d*x + c)^3 + 6*d*cosh(d*x + c)^2 + 6*(11*d*cosh(d*x + c)^10 + 45*d*cosh(d*x + c)^8 + 70*d*cosh(d*x + c)^6 + 5
0*d*cosh(d*x + c)^4 + 15*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^2 + 12*(d*cosh(d*x + c)^11 + 5*d*cosh(d*x + c)^9
+ 10*d*cosh(d*x + c)^7 + 10*d*cosh(d*x + c)^5 + 5*d*cosh(d*x + c)^3 + d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + d)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 1.40382, size = 211, normalized size = 2.54 \begin{align*} \begin{cases} a^{3} x - \frac{a^{3} \log{\left (\tanh{\left (c + d x \right )} + 1 \right )}}{d} + 3 a^{2} b x - \frac{3 a^{2} b \log{\left (\tanh{\left (c + d x \right )} + 1 \right )}}{d} - \frac{3 a^{2} b \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}}{2 d} + 3 a b^{2} x - \frac{3 a b^{2} \log{\left (\tanh{\left (c + d x \right )} + 1 \right )}}{d} - \frac{3 a b^{2} \tanh ^{4}{\left (c + d x \right )}}{4 d} - \frac{3 a b^{2} \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}}{2 d} + b^{3} x - \frac{b^{3} \log{\left (\tanh{\left (c + d x \right )} + 1 \right )}}{d} - \frac{b^{3} \tanh ^{6}{\left (c + d x \right )}}{6 d} - \frac{b^{3} \tanh ^{4}{\left (c + d x \right )}}{4 d} - \frac{b^{3} \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}}{2 d} & \text{for}\: d \neq 0 \\x \left (a + b \tanh ^{2}{\left (c \right )}\right )^{3} \tanh{\left (c \right )} & \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)*(a+b*tanh(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Piecewise((a**3*x - a**3*log(tanh(c + d*x) + 1)/d + 3*a**2*b*x - 3*a**2*b*log(tanh(c + d*x) + 1)/d - 3*a**2*b*
tanh(c + d*x)**2/(2*d) + 3*a*b**2*x - 3*a*b**2*log(tanh(c + d*x) + 1)/d - 3*a*b**2*tanh(c + d*x)**4/(4*d) - 3*
a*b**2*tanh(c + d*x)**2/(2*d) + b**3*x - b**3*log(tanh(c + d*x) + 1)/d - b**3*tanh(c + d*x)**6/(6*d) - b**3*ta
nh(c + d*x)**4/(4*d) - b**3*tanh(c + d*x)**2/(2*d), Ne(d, 0)), (x*(a + b*tanh(c)**2)**3*tanh(c), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.38566, size = 296, normalized size = 3.57 \begin{align*} -\frac{{\left (a^{3} + 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )}{\left (d x + c\right )}}{d} + \frac{{\left (a^{3} + 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )} \log \left (e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + 1\right )}{d} + \frac{2 \,{\left (9 \,{\left (a^{2} b + 2 \, a b^{2} + b^{3}\right )} e^{\left (10 \, d x + 10 \, c\right )} + 18 \,{\left (2 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )} e^{\left (8 \, d x + 8 \, c\right )} + 2 \,{\left (27 \, a^{2} b + 36 \, a b^{2} + 17 \, b^{3}\right )} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + 18 \,{\left (2 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 9 \,{\left (a^{2} b + 2 \, a b^{2} + b^{3}\right )} e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )}\right )}}{3 \, d{\left (e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + 1\right )}^{6}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)*(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*(d*x + c)/d + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*log(e^(2*d*x + 2*c) + 1)/d + 2/
3*(9*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*e^(10*d*x + 10*c) + 18*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*e^(8*d*x + 8*c) + 2*(27*a^2*b +
36*a*b^2 + 17*b^3)*e^(6*d*x + 6*c) + 18*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*e^(4*d*x + 4*c) + 9*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*
e^(2*d*x + 2*c))/(d*(e^(2*d*x + 2*c) + 1)^6)