### 3.157 $$\int \tanh ^3(c+d x) (a+b \tanh ^2(c+d x))^3 \, dx$$

Optimal. Leaf size=107 $-\frac{b \left (3 a^2+3 a b+b^2\right ) \tanh ^4(c+d x)}{4 d}-\frac{b^2 (3 a+b) \tanh ^6(c+d x)}{6 d}-\frac{(a+b)^3 \tanh ^2(c+d x)}{2 d}+\frac{(a+b)^3 \log (\cosh (c+d x))}{d}-\frac{b^3 \tanh ^8(c+d x)}{8 d}$

[Out]

((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d - ((a + b)^3*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^
4)/(4*d) - (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x]^6)/(6*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.152296, antiderivative size = 107, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 4, number of rules used = 3, integrand size = 23, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.13, Rules used = {3670, 446, 77} $-\frac{b \left (3 a^2+3 a b+b^2\right ) \tanh ^4(c+d x)}{4 d}-\frac{b^2 (3 a+b) \tanh ^6(c+d x)}{6 d}-\frac{(a+b)^3 \tanh ^2(c+d x)}{2 d}+\frac{(a+b)^3 \log (\cosh (c+d x))}{d}-\frac{b^3 \tanh ^8(c+d x)}{8 d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Tanh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d - ((a + b)^3*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^
4)/(4*d) - (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x]^6)/(6*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d)

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 77

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
d[(a + b*x)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && ((ILtQ[
n, 0] && ILtQ[p, 0]) || EqQ[p, 1] || (IGtQ[p, 0] && ( !IntegerQ[n] || LeQ[9*p + 5*(n + 2), 0] || GeQ[n + p + 1
, 0] || (GeQ[n + p + 2, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e, f]))))

Rubi steps

\begin{align*} \int \tanh ^3(c+d x) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3 \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^3 \left (a+b x^2\right )^3}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x (a+b x)^3}{1-x} \, dx,x,\tanh ^2(c+d x)\right )}{2 d}\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \left (-(a+b)^3-\frac{(a+b)^3}{-1+x}-b \left (3 a^2+3 a b+b^2\right ) x-b^2 (3 a+b) x^2-b^3 x^3\right ) \, dx,x,\tanh ^2(c+d x)\right )}{2 d}\\ &=\frac{(a+b)^3 \log (\cosh (c+d x))}{d}-\frac{(a+b)^3 \tanh ^2(c+d x)}{2 d}-\frac{b \left (3 a^2+3 a b+b^2\right ) \tanh ^4(c+d x)}{4 d}-\frac{b^2 (3 a+b) \tanh ^6(c+d x)}{6 d}-\frac{b^3 \tanh ^8(c+d x)}{8 d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.288521, size = 98, normalized size = 0.92 $\frac{-\frac{1}{2} b \left (3 a^2+3 a b+b^2\right ) \tanh ^4(c+d x)-\frac{1}{3} b^2 (3 a+b) \tanh ^6(c+d x)-(a+b)^3 \tanh ^2(c+d x)+2 (a+b)^3 \log (\cosh (c+d x))-\frac{1}{4} b^3 \tanh ^8(c+d x)}{2 d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Tanh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

(2*(a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]] - (a + b)^3*Tanh[c + d*x]^2 - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^4)/2 - (b
^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x]^6)/3 - (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/4)/(2*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.007, size = 307, normalized size = 2.9 \begin{align*} -{\frac{{a}^{3}\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) -1 \right ) }{2\,d}}-{\frac{3\,\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) -1 \right ){a}^{2}b}{2\,d}}-{\frac{3\,\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) -1 \right ) a{b}^{2}}{2\,d}}-{\frac{\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) -1 \right ){b}^{3}}{2\,d}}-{\frac{{b}^{3} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{6}}{6\,d}}-{\frac{{b}^{3} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{4}}{4\,d}}-{\frac{{a}^{3} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2}}{2\,d}}-{\frac{{b}^{3} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2}}{2\,d}}-{\frac{{b}^{3} \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{8}}{8\,d}}-{\frac{3\, \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{4}{a}^{2}b}{4\,d}}-{\frac{3\, \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{4}a{b}^{2}}{4\,d}}-{\frac{3\,{a}^{2}b \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2}}{2\,d}}-{\frac{3\, \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2}a{b}^{2}}{2\,d}}-{\frac{ \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{6}a{b}^{2}}{2\,d}}-{\frac{\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) +1 \right ){a}^{3}}{2\,d}}-{\frac{3\,\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) +1 \right ){a}^{2}b}{2\,d}}-{\frac{3\,\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) +1 \right ) a{b}^{2}}{2\,d}}-{\frac{\ln \left ( \tanh \left ( dx+c \right ) +1 \right ){b}^{3}}{2\,d}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(d*x+c)^3*(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

-1/2/d*a^3*ln(tanh(d*x+c)-1)-3/2/d*ln(tanh(d*x+c)-1)*a^2*b-3/2/d*ln(tanh(d*x+c)-1)*a*b^2-1/2/d*ln(tanh(d*x+c)-
1)*b^3-1/6*b^3*tanh(d*x+c)^6/d-1/4*b^3*tanh(d*x+c)^4/d-1/2/d*a^3*tanh(d*x+c)^2-1/2/d*b^3*tanh(d*x+c)^2-1/8*b^3
*tanh(d*x+c)^8/d-3/4/d*tanh(d*x+c)^4*a^2*b-3/4/d*tanh(d*x+c)^4*a*b^2-3/2*a^2*b*tanh(d*x+c)^2/d-3/2/d*tanh(d*x+
c)^2*a*b^2-1/2/d*tanh(d*x+c)^6*a*b^2-1/2/d*ln(tanh(d*x+c)+1)*a^3-3/2/d*ln(tanh(d*x+c)+1)*a^2*b-3/2/d*ln(tanh(d
*x+c)+1)*a*b^2-1/2/d*ln(tanh(d*x+c)+1)*b^3

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.59218, size = 729, normalized size = 6.81 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)^3*(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

a*b^2*(3*x + 3*c/d + 3*log(e^(-2*d*x - 2*c) + 1)/d + 2*(9*e^(-2*d*x - 2*c) + 18*e^(-4*d*x - 4*c) + 34*e^(-6*d*
x - 6*c) + 18*e^(-8*d*x - 8*c) + 9*e^(-10*d*x - 10*c))/(d*(6*e^(-2*d*x - 2*c) + 15*e^(-4*d*x - 4*c) + 20*e^(-6
*d*x - 6*c) + 15*e^(-8*d*x - 8*c) + 6*e^(-10*d*x - 10*c) + e^(-12*d*x - 12*c) + 1))) + 1/3*b^3*(3*x + 3*c/d +
3*log(e^(-2*d*x - 2*c) + 1)/d + 8*(3*e^(-2*d*x - 2*c) + 9*e^(-4*d*x - 4*c) + 25*e^(-6*d*x - 6*c) + 26*e^(-8*d*
x - 8*c) + 25*e^(-10*d*x - 10*c) + 9*e^(-12*d*x - 12*c) + 3*e^(-14*d*x - 14*c))/(d*(8*e^(-2*d*x - 2*c) + 28*e^
(-4*d*x - 4*c) + 56*e^(-6*d*x - 6*c) + 70*e^(-8*d*x - 8*c) + 56*e^(-10*d*x - 10*c) + 28*e^(-12*d*x - 12*c) + 8
*e^(-14*d*x - 14*c) + e^(-16*d*x - 16*c) + 1))) + 3*a^2*b*(x + c/d + log(e^(-2*d*x - 2*c) + 1)/d + 4*(e^(-2*d*
x - 2*c) + e^(-4*d*x - 4*c) + e^(-6*d*x - 6*c))/(d*(4*e^(-2*d*x - 2*c) + 6*e^(-4*d*x - 4*c) + 4*e^(-6*d*x - 6*
c) + e^(-8*d*x - 8*c) + 1))) + a^3*(x + c/d + log(e^(-2*d*x - 2*c) + 1)/d + 2*e^(-2*d*x - 2*c)/(d*(2*e^(-2*d*x
- 2*c) + e^(-4*d*x - 4*c) + 1)))

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.11791, size = 19047, normalized size = 178.01 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)^3*(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/3*(3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^16 + 48*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x
+ c)*sinh(d*x + c)^15 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*sinh(d*x + c)^16 - 6*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 +
4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^14 + 6*(60*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*c
osh(d*x + c)^2 - a^3 - 6*a^2*b - 9*a*b^2 - 4*b^3 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*sinh(d*x + c)^14 + 8
4*(20*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^3 - (a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*
b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^13 - 12*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3
*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^12 + 6*(910*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^4 - 6
*a^3 - 30*a^2*b - 36*a*b^2 - 12*b^3 + 14*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x - 91*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4
*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^12 + 24*(546*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a
*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^5 - 91*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)
*cosh(d*x + c)^3 - 6*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x +
c))*sinh(d*x + c)^11 - 2*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*c
osh(d*x + c)^10 + 2*(12012*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^6 - 3003*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2
+ 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 - 45*a^3 - 198*a^2*b - 237*a*b^2 - 100*b^3 +
84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x - 396*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^
2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 4*(8580*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^7
- 3003*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 - 660*(3*a^3
+ 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - 5*(45*a^3 + 198*a^2*b
+ 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 - 2*(60*a^3 +
252*a^2*b + 312*a*b^2 + 104*b^3 - 105*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 + 2*(19305*(a^3 + 3
*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^8 - 9009*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b
^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 - 2970*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)
*d*x)*cosh(d*x + c)^4 - 60*a^3 - 252*a^2*b - 312*a*b^2 - 104*b^3 + 105*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x - 4
5*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*
x + c)^8 + 16*(2145*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^9 - 1287*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^
3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^7 - 594*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3
+ 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 - 15*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*
a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - (60*a^3 + 252*a^2*b + 312*a*b^2 + 104*b^3 - 105*(a^3 + 3*a^2*b +
3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 - 2*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 +
3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 + 2*(12012*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^10
- 9009*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 - 5544*(3*a^3
+ 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 - 210*(45*a^3 + 198*a^
2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 - 45*a^3 - 198*a^2*b - 237
*a*b^2 - 100*b^3 + 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x - 28*(60*a^3 + 252*a^2*b + 312*a*b^2 + 104*b^3 - 105
*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(3276*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^
3)*d*x*cosh(d*x + c)^11 - 3003*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(
d*x + c)^9 - 2376*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^
7 - 126*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 -
28*(60*a^3 + 252*a^2*b + 312*a*b^2 + 104*b^3 - 105*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(4
5*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)
^5 - 12*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(273
0*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^12 - 3003*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^
2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^10 - 2970*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*
a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 - 210*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^
2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 - 70*(60*a^3 + 252*a^2*b + 312*a*b^2 + 104*b^3 - 105*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 +
b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 - 18*a^3 - 90*a^2*b - 108*a*b^2 - 36*b^3 + 42*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x -
15*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d
*x + c)^4 + 8*(210*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh(d*x + c)^13 - 273*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3
- 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^11 - 330*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3
+ 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^9 - 30*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*
a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^7 - 14*(60*a^3 + 252*a^2*b + 312*a*b^2 + 104*b^3 - 105*(a^3 + 3*a^2*
b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 - 5*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*
a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - 6*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)
*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x - 6*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*
b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(180*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x*cosh
(d*x + c)^14 - 273*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^12
- 396*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^10 - 45*(45*
a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 - 28*(60*a^3 +
252*a^2*b + 312*a*b^2 + 104*b^3 - 105*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 - 15*(45*a^3 + 198
*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 - 3*a^3 - 18*a^2*b - 27
*a*b^2 - 12*b^3 + 12*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x - 36*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 +
3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 - 3*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x +
c)^16 + 16*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^15 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*s
inh(d*x + c)^16 + 8*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^14 + 8*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 15*(
a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^14 + 112*(5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh
(d*x + c)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^13 + 28*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 +
b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 28*(65*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3
+ 26*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^12 + 112*(39*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b
^3)*cosh(d*x + c)^5 + 26*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c
osh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 + 56*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 56*(143*(a^3 + 3*a^2*b
+ 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 143*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b
^2 + b^3 + 33*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 16*(715*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a
*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 1001*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 385*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*
b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 35*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + 70*(a^3 + 3*a
^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 2*(6435*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 12012*(a^3 +
3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 6930*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 35*a^3 + 10
5*a^2*b + 105*a*b^2 + 35*b^3 + 1260*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 16*(715
*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 1716*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 1386
*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 420*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 35*(a
^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 56*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c
)^6 + 56*(143*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 429*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x
+ c)^8 + 462*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 210*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x +
c)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 35*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 1
12*(39*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 143*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^9
+ 198*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 126*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^5 +
35*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x
+ c)^5 + 28*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 28*(65*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x
+ c)^12 + 286*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 495*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x
+ c)^8 + 420*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 175*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x +
c)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 30*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 +
112*(5*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 26*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^11
+ 55*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 60*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 35
*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (a^3 +
3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 8*(a^3 + 3*a^2*b +
3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2 + 8*(15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^14 + 91*(a^3 + 3*a^2*b +
3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 231*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 315*(a^3 + 3*a^2*b +
3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 245*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 105*(a^3 + 3*a^2*b + 3*
a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 21*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c
)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 16*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^15 + 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3
)*cosh(d*x + c)^13 + 21*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 35*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*
cosh(d*x + c)^9 + 35*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 21*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh
(d*x + c)^5 + 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c
))*sinh(d*x + c))*log(2*cosh(d*x + c)/(cosh(d*x + c) - sinh(d*x + c))) + 4*(12*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)
*d*x*cosh(d*x + c)^15 - 21*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x
+ c)^13 - 36*(3*a^3 + 15*a^2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^11 -
5*(45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^9 - 4*(60*
a^3 + 252*a^2*b + 312*a*b^2 + 104*b^3 - 105*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^7 - 3*(45*a^3 +
198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3 - 84*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 - 12*(3*a^3 + 15*a^
2*b + 18*a*b^2 + 6*b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 +
4*b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(d*cosh(d*x + c)^16 + 16*d*cosh(
d*x + c)*sinh(d*x + c)^15 + d*sinh(d*x + c)^16 + 8*d*cosh(d*x + c)^14 + 8*(15*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x
+ c)^14 + 112*(5*d*cosh(d*x + c)^3 + d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^13 + 28*d*cosh(d*x + c)^12 + 28*(65*d*cosh
(d*x + c)^4 + 26*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^12 + 112*(39*d*cosh(d*x + c)^5 + 26*d*cosh(d*x + c)^3 +
3*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 + 56*d*cosh(d*x + c)^10 + 56*(143*d*cosh(d*x + c)^6 + 143*d*cosh(d*x + c)^
4 + 33*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^10 + 16*(715*d*cosh(d*x + c)^7 + 1001*d*cosh(d*x + c)^5 + 385*d*co
sh(d*x + c)^3 + 35*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + 70*d*cosh(d*x + c)^8 + 2*(6435*d*cosh(d*x + c)^8 + 12012
*d*cosh(d*x + c)^6 + 6930*d*cosh(d*x + c)^4 + 1260*d*cosh(d*x + c)^2 + 35*d)*sinh(d*x + c)^8 + 16*(715*d*cosh(
d*x + c)^9 + 1716*d*cosh(d*x + c)^7 + 1386*d*cosh(d*x + c)^5 + 420*d*cosh(d*x + c)^3 + 35*d*cosh(d*x + c))*sin
h(d*x + c)^7 + 56*d*cosh(d*x + c)^6 + 56*(143*d*cosh(d*x + c)^10 + 429*d*cosh(d*x + c)^8 + 462*d*cosh(d*x + c)
^6 + 210*d*cosh(d*x + c)^4 + 35*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^6 + 112*(39*d*cosh(d*x + c)^11 + 143*d*co
sh(d*x + c)^9 + 198*d*cosh(d*x + c)^7 + 126*d*cosh(d*x + c)^5 + 35*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*d*cosh(d*x + c))*sinh
(d*x + c)^5 + 28*d*cosh(d*x + c)^4 + 28*(65*d*cosh(d*x + c)^12 + 286*d*cosh(d*x + c)^10 + 495*d*cosh(d*x + c)^
8 + 420*d*cosh(d*x + c)^6 + 175*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^4 + 112*(5*d*cosh(
d*x + c)^13 + 26*d*cosh(d*x + c)^11 + 55*d*cosh(d*x + c)^9 + 60*d*cosh(d*x + c)^7 + 35*d*cosh(d*x + c)^5 + 10*
d*cosh(d*x + c)^3 + d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 8*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(15*d*cosh(d*x + c)^14 + 91*d*c
osh(d*x + c)^12 + 231*d*cosh(d*x + c)^10 + 315*d*cosh(d*x + c)^8 + 245*d*cosh(d*x + c)^6 + 105*d*cosh(d*x + c)
^4 + 21*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^2 + 16*(d*cosh(d*x + c)^15 + 7*d*cosh(d*x + c)^13 + 21*d*cosh(d*x
+ c)^11 + 35*d*cosh(d*x + c)^9 + 35*d*cosh(d*x + c)^7 + 21*d*cosh(d*x + c)^5 + 7*d*cosh(d*x + c)^3 + d*cosh(d
*x + c))*sinh(d*x + c) + d)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 2.40044, size = 279, normalized size = 2.61 \begin{align*} \begin{cases} a^{3} x - \frac{a^{3} \log{\left (\tanh{\left (c + d x \right )} + 1 \right )}}{d} - \frac{a^{3} \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}}{2 d} + 3 a^{2} b x - \frac{3 a^{2} b \log{\left (\tanh{\left (c + d x \right )} + 1 \right )}}{d} - \frac{3 a^{2} b \tanh ^{4}{\left (c + d x \right )}}{4 d} - \frac{3 a^{2} b \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}}{2 d} + 3 a b^{2} x - \frac{3 a b^{2} \log{\left (\tanh{\left (c + d x \right )} + 1 \right )}}{d} - \frac{a b^{2} \tanh ^{6}{\left (c + d x \right )}}{2 d} - \frac{3 a b^{2} \tanh ^{4}{\left (c + d x \right )}}{4 d} - \frac{3 a b^{2} \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}}{2 d} + b^{3} x - \frac{b^{3} \log{\left (\tanh{\left (c + d x \right )} + 1 \right )}}{d} - \frac{b^{3} \tanh ^{8}{\left (c + d x \right )}}{8 d} - \frac{b^{3} \tanh ^{6}{\left (c + d x \right )}}{6 d} - \frac{b^{3} \tanh ^{4}{\left (c + d x \right )}}{4 d} - \frac{b^{3} \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}}{2 d} & \text{for}\: d \neq 0 \\x \left (a + b \tanh ^{2}{\left (c \right )}\right )^{3} \tanh ^{3}{\left (c \right )} & \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)**3*(a+b*tanh(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Piecewise((a**3*x - a**3*log(tanh(c + d*x) + 1)/d - a**3*tanh(c + d*x)**2/(2*d) + 3*a**2*b*x - 3*a**2*b*log(ta
nh(c + d*x) + 1)/d - 3*a**2*b*tanh(c + d*x)**4/(4*d) - 3*a**2*b*tanh(c + d*x)**2/(2*d) + 3*a*b**2*x - 3*a*b**2
*log(tanh(c + d*x) + 1)/d - a*b**2*tanh(c + d*x)**6/(2*d) - 3*a*b**2*tanh(c + d*x)**4/(4*d) - 3*a*b**2*tanh(c
+ d*x)**2/(2*d) + b**3*x - b**3*log(tanh(c + d*x) + 1)/d - b**3*tanh(c + d*x)**8/(8*d) - b**3*tanh(c + d*x)**6
/(6*d) - b**3*tanh(c + d*x)**4/(4*d) - b**3*tanh(c + d*x)**2/(2*d), Ne(d, 0)), (x*(a + b*tanh(c)**2)**3*tanh(c
)**3, True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.46414, size = 421, normalized size = 3.93 \begin{align*} -\frac{{\left (a^{3} + 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )}{\left (d x + c\right )}}{d} + \frac{{\left (a^{3} + 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )} \log \left (e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + 1\right )}{d} + \frac{2 \,{\left (3 \,{\left (a^{3} + 6 \, a^{2} b + 9 \, a b^{2} + 4 \, b^{3}\right )} e^{\left (14 \, d x + 14 \, c\right )} + 18 \,{\left (a^{3} + 5 \, a^{2} b + 6 \, a b^{2} + 2 \, b^{3}\right )} e^{\left (12 \, d x + 12 \, c\right )} +{\left (45 \, a^{3} + 198 \, a^{2} b + 237 \, a b^{2} + 100 \, b^{3}\right )} e^{\left (10 \, d x + 10 \, c\right )} + 4 \,{\left (15 \, a^{3} + 63 \, a^{2} b + 78 \, a b^{2} + 26 \, b^{3}\right )} e^{\left (8 \, d x + 8 \, c\right )} +{\left (45 \, a^{3} + 198 \, a^{2} b + 237 \, a b^{2} + 100 \, b^{3}\right )} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + 18 \,{\left (a^{3} + 5 \, a^{2} b + 6 \, a b^{2} + 2 \, b^{3}\right )} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 3 \,{\left (a^{3} + 6 \, a^{2} b + 9 \, a b^{2} + 4 \, b^{3}\right )} e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )}\right )}}{3 \, d{\left (e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + 1\right )}^{8}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)^3*(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*(d*x + c)/d + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*log(e^(2*d*x + 2*c) + 1)/d + 2/
3*(3*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3)*e^(14*d*x + 14*c) + 18*(a^3 + 5*a^2*b + 6*a*b^2 + 2*b^3)*e^(12*d*x + 12
*c) + (45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3)*e^(10*d*x + 10*c) + 4*(15*a^3 + 63*a^2*b + 78*a*b^2 + 26*b^3)
*e^(8*d*x + 8*c) + (45*a^3 + 198*a^2*b + 237*a*b^2 + 100*b^3)*e^(6*d*x + 6*c) + 18*(a^3 + 5*a^2*b + 6*a*b^2 +
2*b^3)*e^(4*d*x + 4*c) + 3*(a^3 + 6*a^2*b + 9*a*b^2 + 4*b^3)*e^(2*d*x + 2*c))/(d*(e^(2*d*x + 2*c) + 1)^8)