### 3.133 $$\int \frac{\text{sech}^7(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^3} \, dx$$

Optimal. Leaf size=156 $-\frac{(4 a-3 b) (a+b) \sinh (c+d x)}{8 a^2 b^2 d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{\sqrt{a+b} \left (8 a^2-4 a b+3 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{5/2} b^3 d}+\frac{(a+b) \sinh (c+d x)}{4 a b d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )^2}-\frac{\tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{b^3 d}$

[Out]

-(ArcTan[Sinh[c + d*x]]/(b^3*d)) + (Sqrt[a + b]*(8*a^2 - 4*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqr
t[a]])/(8*a^(5/2)*b^3*d) + ((a + b)*Sinh[c + d*x])/(4*a*b*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2) - ((4*a - 3*b)*(a
+ b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*b^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.227987, antiderivative size = 156, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 23, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.261, Rules used = {3676, 414, 527, 522, 203, 205} $-\frac{(4 a-3 b) (a+b) \sinh (c+d x)}{8 a^2 b^2 d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{\sqrt{a+b} \left (8 a^2-4 a b+3 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{5/2} b^3 d}+\frac{(a+b) \sinh (c+d x)}{4 a b d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )^2}-\frac{\tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{b^3 d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Sech[c + d*x]^7/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

-(ArcTan[Sinh[c + d*x]]/(b^3*d)) + (Sqrt[a + b]*(8*a^2 - 4*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqr
t[a]])/(8*a^(5/2)*b^3*d) + ((a + b)*Sinh[c + d*x])/(4*a*b*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2) - ((4*a - 3*b)*(a
+ b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*b^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))

Rule 3676

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[ExpandToSum[b*(ff*x)^n + a*(1 - ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1 -
ff^2*x^2)^((m + n*p + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] &&
IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

Rule 414

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(b*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*
(c + d*x^n)^q*Simp[b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinomial
Q[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\text{sech}^7(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1+x^2\right ) \left (a+(a+b) x^2\right )^3} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{(a+b) \sinh (c+d x)}{4 a b d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a-3 b-3 (a+b) x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+(a+b) x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{4 a b d}\\ &=\frac{(a+b) \sinh (c+d x)}{4 a b d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{(4 a-3 b) (a+b) \sinh (c+d x)}{8 a^2 b^2 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{4 a^2-a b+3 b^2-(4 a-3 b) (a+b) x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+(a+b) x^2\right )} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{8 a^2 b^2 d}\\ &=\frac{(a+b) \sinh (c+d x)}{4 a b d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{(4 a-3 b) (a+b) \sinh (c+d x)}{8 a^2 b^2 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{b^3 d}+\frac{\left ((a+b) \left (8 a^2-4 a b+3 b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+(a+b) x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{8 a^2 b^3 d}\\ &=-\frac{\tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{b^3 d}+\frac{\sqrt{a+b} \left (8 a^2-4 a b+3 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{5/2} b^3 d}+\frac{(a+b) \sinh (c+d x)}{4 a b d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{(4 a-3 b) (a+b) \sinh (c+d x)}{8 a^2 b^2 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 3.17087, size = 317, normalized size = 2.03 $-\frac{\frac{i \sqrt{a+b} \left (8 a^2-4 a b+3 b^2\right ) \log ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)}{a^{5/2}}-\frac{i \left (4 a^2 b+8 a^3-a b^2+3 b^3\right ) \log ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)}{a^{5/2} \sqrt{a+b}}+\frac{8 b \left (4 a^2+a b-3 b^2\right ) \sinh (c+d x)}{a^2 ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)}+\frac{2 \sqrt{a+b} \left (8 a^2-4 a b+3 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \text{csch}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{a^{5/2}}+\frac{2 \left (4 a^2 b+8 a^3-a b^2+3 b^3\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \text{csch}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{a^{5/2} \sqrt{a+b}}-\frac{32 b^2 (a+b) \sinh (c+d x)}{a ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)^2}+64 \tan ^{-1}\left (\tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )}{32 b^3 d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Sech[c + d*x]^7/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

-((2*Sqrt[a + b]*(8*a^2 - 4*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Csch[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/a^(5/2) + (2*(8*a^3 + 4*
a^2*b - a*b^2 + 3*b^3)*ArcTan[(Sqrt[a]*Csch[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^(5/2)*Sqrt[a + b]) + 64*ArcTan[Tanh[(c
+ d*x)/2]] + (I*Sqrt[a + b]*(8*a^2 - 4*a*b + 3*b^2)*Log[a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)]])/a^(5/2) - (I*(8*a^
3 + 4*a^2*b - a*b^2 + 3*b^3)*Log[a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)]])/(a^(5/2)*Sqrt[a + b]) - (32*b^2*(a + b)*S
inh[c + d*x])/(a*(a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)])^2) + (8*b*(4*a^2 + a*b - 3*b^2)*Sinh[c + d*x])/(a^2*(a -
b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)])))/(32*b^3*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.112, size = 1907, normalized size = 12.2 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sech(d*x+c)^7/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

3/8/d/a^2*b/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1
/2)-a-2*b)*a)^(1/2))-1/8/d/(b*(a+b))^(1/2)/a/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)
/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))-1/8/d/(b*(a+b))^(1/2)/a/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tan
h(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))-1/d/b^3*a/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*
tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+1/d/b^3*a/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(
a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))-2/d/b^3*arctan(tanh(1/2*d*x+1/2*c))+1/2/d/b/(b*(a+b
))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)
)+1/8/d/a/b/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1
/2))+1/2/d/b/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1
/2)+a+2*b)*a)^(1/2))-1/8/d/a/b/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^
(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+3/8/d/a^2*b/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1
/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+1/d*a/b^2/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arcta
nh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+1/d*a/b^2/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+
2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2
*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2*a/b^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^5-1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4
*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2*a/b^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3+3/d/a^2*b/(tanh(1/2*d*
x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3-3/8/d/a^2/((2*(b*(
a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+3/8/d/a^2/((2*(
b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))-1/2/d/b^2/((2
*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+1/2/d/b^2/
((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))-5/4/d/(t
anh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^7+7/4/d/
(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^5-7/4/
d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3+5/
4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)-23
/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3
+1/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)
-1/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)
^7+23/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/b*tanh(1/2*d*x+1/2
*c)^5-3/d/a^2*b/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2*tanh(1/2*d*x
+1/2*c)^5-1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2*a/b^2*tanh(1/2
*d*x+1/2*c)+1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2*a/b^2*tanh(1
/2*d*x+1/2*c)^7

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^7/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.3531, size = 18573, normalized size = 119.06 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^7/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/16*(4*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^7 + 28*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)
*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*sinh(d*x + c)^7 + 4*(4*a^3*b - 19*a
^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 4*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4 + 21*(4*a^3*b + 5*a^2*
b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 20*(7*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d
*x + c)^3 + (4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - 4*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2
- 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(35*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^4 - 4*a^3*b
+ 19*a^2*b^2 + 14*a*b^3 - 9*b^4 + 10*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)
^3 + 4*(21*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b
^4)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 - ((8*a^4 + 1
2*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*co
sh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(8*a^4 - 4*
a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4 + 7*(8
*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a
^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c))*s
inh(d*x + c)^5 + 2*(24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(8*a^4 + 12*a^3
*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9*b^4 + 30*(8*
a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 +
2*a*b^3 + 3*b^4 + 8*(7*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(8*a^4 - 4*a^3*b
- 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x
+ c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(8*a^4 + 12*
a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh
(d*x + c)^4 + 8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4 + 3*(24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9
*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^7 +
3*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + (24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^
3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqr
t(-(a + b)/a)*log(((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4
- 2*(3*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x
+ c)^3 - (3*a + b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + 4*(a*cosh(d*x + c)^3 + 3*a*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 +
a*sinh(d*x + c)^3 - a*cosh(d*x + c) + (3*a*cosh(d*x + c)^2 - a)*sinh(d*x + c))*sqrt(-(a + b)/a) + a + b)/((a +
b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x +
c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x
+ c))*sinh(d*x + c) + a + b)) + 32*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*co
sh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^6 +
4*(a^4 - a^2*b^2 + 7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^
2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(d
*x + c)^4 + 2*(35*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 30*(a^4 - a^2*b^2)
*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 +
10*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(a^4 -
a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^4
+ a^4 - a^2*b^2 + 3*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*
b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (a^
4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*arctan(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c)) - 4*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*
a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c) + 4*(7*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(4*a^3*b - 19*
a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4 - 3*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2
- 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))/((a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^
4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*sinh(d*x + c)
^8 + 4*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^4*b
^3 - a^2*b^5)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^4*b^3 + 2
*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*(a^4*b^
3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^4*b^3 - 2*a^3*b^4
+ 3*a^2*b^5)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b
^5)*d*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*d*cosh(
d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*
cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^4*b^3 - a^2*b^5)*d)*sinh(d*x +
c)^2 + (a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d + 8*((a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^4*b^3 -
a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*co
sh(d*x + c))*sinh(d*x + c)), -1/8*(2*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^7 + 14*(4*a^3*b + 5
*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*sinh(d*x
+ c)^7 + 2*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9
*b^4 + 21*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 10*(7*(4*a^3*b + 5*a^2*b^
2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^
4 - 2*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(35*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4
)*cosh(d*x + c)^4 - 4*a^3*b + 19*a^2*b^2 + 14*a*b^3 - 9*b^4 + 10*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cos
h(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(21*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^3*b -
19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c))*si
nh(d*x + c)^2 - ((8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^
2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*sinh
(d*x + c)^8 + 4*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b
^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4 + 7*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8
*(7*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^
3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c
)^4 + 2*(35*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2
- 18*a*b^3 + 9*b^4 + 30*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*a
^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4 + 8*(7*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x +
c)^5 + 10*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 -
18*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x
+ c)^2 + 4*(7*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*
b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4 + 3*(24*a^4 - 28*a^3*b
+ 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3
+ 3*b^4)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + (24*a^4 - 28*a
^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d
*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt((a + b)/a)*arctan(1/2*sqrt((a + b)/a)*(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c))) - ((8*a^4
+ 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)
*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(8*a^4 -
4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4 + 7
*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(8*a^4 + 12*a^3*b +
3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)
)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(8*a^4 + 12*
a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9*b^4 + 30*
(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^
2 + 2*a*b^3 + 3*b^4 + 8*(7*(8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(8*a^4 - 4*a^
3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3 + 9*b^4)*cosh(
d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(8*a^4 +
12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*c
osh(d*x + c)^4 + 8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4 + 3*(24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a*b^3
+ 9*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((8*a^4 + 12*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(d*x + c)^
7 + 3*(8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + (24*a^4 - 28*a^3*b + 41*a^2*b^2 - 18*a
*b^3 + 9*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (8*a^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*
sqrt((a + b)/a)*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + (a + b)*sinh(d
*x + c)^3 + (3*a - b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a - b)*sinh(d*x + c))*sqrt((a + b)/a)/(a
+ b)) + 16*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c
)^7 + (a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(a^4 - a^2*b^2 + 7*(a^
4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(
a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(a^4 +
2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2 + 30*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d
*x + c)^4 + a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2 + 8*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^4 - a^2*b^2)*cosh
(d*x + c)^3 + (3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2
+ 4*(7*(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + a^4 - a^2*b^2 + 3*(3*
a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 3
*(a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^4 - 2*a^3*b + 3*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (a^4 - a^2*b^2)*cosh(d*x +
c))*sinh(d*x + c))*arctan(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c)) - 2*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x
+ c) + 2*(7*(4*a^3*b + 5*a^2*b^2 - 2*a*b^3 - 3*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b
^4)*cosh(d*x + c)^4 - 4*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 2*a*b^3 + 3*b^4 - 3*(4*a^3*b - 19*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 9*b^4)*cosh
(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))/((a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*
b^5)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^4*b^3 - a^2*b^
5)*d*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^4*b^3 - a^2*b^5)*d)*sinh(d*
x + c)^6 + 2*(3*a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*co
sh(d*x + c)^3 + 3*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*(a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)
*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*d)*sinh(d*
x + c)^4 + 4*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 +
10*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^
3 + 4*(7*(a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a
^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^4*b^3 - a^2*b^5)*d)*sinh(d*x + c)^2 + (a^4*b^3 + 2*a^3*
b^4 + a^2*b^5)*d + 8*((a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c
)^5 + (3*a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^4*b^3 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x +
c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)**7/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 2.46578, size = 6677, normalized size = 42.8 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^7/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/32*(2*(3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
))) - (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))
))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 +
3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3
*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*
sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(
8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cos
h(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*i
mag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cosh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*ima
g_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*r
eal_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*sin(1/2*real_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (8*a^4*b^3 + 12
*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*sin(1/2*real_part(ar
ccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan((((a^3*b^3 + a^2*b^
4)/(a^3*b^3*e^(4*c) + a^2*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*x))/(((a^3*b^3 + a^2*b^
4)/(a^3*b^3*e^(4*c) + a^2*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(2*a^3*b^7 + (a^3*b^3 - a^2*
b^4)*sqrt(-a*b)*b^2*abs(b)) + 2*(3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(ar
ccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cosh(1/2*imag_part(arccos
(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4
+ 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b)))) + 3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b)))) + 9*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 +
2*a*b^6 + 3*b^7)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*
a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6
+ 3*b^7)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b
))))^3 + (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b
^7)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*ar
ctan(-(((a^3*b^3 + a^2*b^4)/(a^3*b^3*e^(4*c) + a^2*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) - e^(
d*x))/(((a^3*b^3 + a^2*b^4)/(a^3*b^3*e^(4*c) + a^2*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(2*
a^3*b^7 + (a^3*b^3 - a^2*b^4)*sqrt(-a*b)*b^2*abs(b)) + ((8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)
*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 -
3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*co
sh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(
8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cos
h(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(8*
a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*i
mag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*r
eal_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_
part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*rea
l_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (8*a^4*b^3 + 12*a^3
*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(ar
ccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*
a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b)))))*log(2*((a^3*b^3 + a^2*b^4)/(a^3*b^3*e^(4*c) + a^2*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a
- b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^3*b^3 + a^2*b^4)/(a^3*b^3*e^(4*c) + a^2*b^4*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*a^3*b^7
+ (a^3*b^3 - a^2*b^4)*sqrt(-a*b)*b^2*abs(b)) - ((8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/
2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(8*a^
4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*
imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(8*a^4*b
^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*i
mag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(8*a^4*b^3
+ 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_
part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(ar
ccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 +
3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a
/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^3 + (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5 + 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (8*a^4*b^3 + 12*a^3*b^4 + 3*a^2*b^5
+ 2*a*b^6 + 3*b^7)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b)))))*log(-2*((a^3*b^3 + a^2*b^4)/(a^3*b^3*e^(4*c) + a^2*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(
a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^3*b^3 + a^2*b^4)/(a^3*b^3*e^(4*c) + a^2*b^4*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*a^3*b^7 + (a^
3*b^3 - a^2*b^4)*sqrt(-a*b)*b^2*abs(b)) - 64*arctan(e^(d*x + c))/b^3 - 8*(4*a^3*e^(7*d*x + 7*c) + 5*a^2*b*e^(7
*d*x + 7*c) - 2*a*b^2*e^(7*d*x + 7*c) - 3*b^3*e^(7*d*x + 7*c) + 4*a^3*e^(5*d*x + 5*c) - 19*a^2*b*e^(5*d*x + 5*
c) - 14*a*b^2*e^(5*d*x + 5*c) + 9*b^3*e^(5*d*x + 5*c) - 4*a^3*e^(3*d*x + 3*c) + 19*a^2*b*e^(3*d*x + 3*c) + 14*
a*b^2*e^(3*d*x + 3*c) - 9*b^3*e^(3*d*x + 3*c) - 4*a^3*e^(d*x + c) - 5*a^2*b*e^(d*x + c) + 2*a*b^2*e^(d*x + c)
+ 3*b^3*e^(d*x + c))/((a*e^(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x + 4*c) + 2*a*e^(2*d*x + 2*c) - 2*b*e^(2*d*x + 2*c) + a +
b)^2*a^2*b^2))/d