### 3.131 $$\int \frac{\text{sech}^5(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^3} \, dx$$

Optimal. Leaf size=104 $\frac{3 \sinh (c+d x)}{8 a^2 d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{3 \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{5/2} d \sqrt{a+b}}+\frac{\sinh (c+d x)}{4 a d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )^2}$

[Out]

(3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[a + b]*d) + Sinh[c + d*x]/(4*a*d*(a + (a + b)*
Sinh[c + d*x]^2)^2) + (3*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0905743, antiderivative size = 104, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 4, number of rules used = 3, integrand size = 23, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.13, Rules used = {3676, 199, 205} $\frac{3 \sinh (c+d x)}{8 a^2 d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{3 \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{5/2} d \sqrt{a+b}}+\frac{\sinh (c+d x)}{4 a d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )^2}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Sech[c + d*x]^5/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

(3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[a + b]*d) + Sinh[c + d*x]/(4*a*d*(a + (a + b)*
Sinh[c + d*x]^2)^2) + (3*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))

Rule 3676

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[ExpandToSum[b*(ff*x)^n + a*(1 - ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1 -
ff^2*x^2)^((m + n*p + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] &&
IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

Rule 199

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Simp[(x*(a + b*x^n)^(p + 1))/(a*n*(p + 1)), x] + Dist[(n*(p +
1) + 1)/(a*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && (In
tegerQ[2*p] || (n == 2 && IntegerQ[4*p]) || (n == 2 && IntegerQ[3*p]) || Denominator[p + 1/n] < Denominator[p]
)

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\text{sech}^5(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (a+(a+b) x^2\right )^3} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{\sinh (c+d x)}{4 a d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (a+(a+b) x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{4 a d}\\ &=\frac{\sinh (c+d x)}{4 a d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{3 \sinh (c+d x)}{8 a^2 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}+\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+(a+b) x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{8 a^2 d}\\ &=\frac{3 \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{5/2} \sqrt{a+b} d}+\frac{\sinh (c+d x)}{4 a d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{3 \sinh (c+d x)}{8 a^2 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.29467, size = 88, normalized size = 0.85 $\frac{\frac{3 \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{a^{3/2} \sqrt{a+b}}+\frac{3 (a+b) \sinh ^3(c+d x)+5 a \sinh (c+d x)}{a \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )^2}}{8 a d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Sech[c + d*x]^5/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

((3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*Sqrt[a + b]) + (5*a*Sinh[c + d*x] + 3*(a + b)*Sinh[c
+ d*x]^3)/(a*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2))/(8*a*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.116, size = 634, normalized size = 6.1 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sech(d*x+c)^5/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

-5/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)
^7+3/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a*tanh(1/2*d*x+1/2*
c)^5-3/d/a^2*b/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2*tanh(1/2*d*x+
1/2*c)^5-3/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a*tanh(1/2*d*
x+1/2*c)^3+3/d/a^2*b/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2*tanh(1/
2*d*x+1/2*c)^3+5/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a*tanh(
1/2*d*x+1/2*c)-3/8/d/a^2/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)
-a-2*b)*a)^(1/2))+3/8/d/a^2*b/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c
)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+3/8/d/a^2/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2
*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+3/8/d/a^2*b/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arcta
n(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{3 \,{\left (a e^{\left (7 \, c\right )} + b e^{\left (7 \, c\right )}\right )} e^{\left (7 \, d x\right )} +{\left (11 \, a e^{\left (5 \, c\right )} - 9 \, b e^{\left (5 \, c\right )}\right )} e^{\left (5 \, d x\right )} -{\left (11 \, a e^{\left (3 \, c\right )} - 9 \, b e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} - 3 \,{\left (a e^{c} + b e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{4 \,{\left (a^{4} d + 2 \, a^{3} b d + a^{2} b^{2} d +{\left (a^{4} d e^{\left (8 \, c\right )} + 2 \, a^{3} b d e^{\left (8 \, c\right )} + a^{2} b^{2} d e^{\left (8 \, c\right )}\right )} e^{\left (8 \, d x\right )} + 4 \,{\left (a^{4} d e^{\left (6 \, c\right )} - a^{2} b^{2} d e^{\left (6 \, c\right )}\right )} e^{\left (6 \, d x\right )} + 2 \,{\left (3 \, a^{4} d e^{\left (4 \, c\right )} - 2 \, a^{3} b d e^{\left (4 \, c\right )} + 3 \, a^{2} b^{2} d e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 4 \,{\left (a^{4} d e^{\left (2 \, c\right )} - a^{2} b^{2} d e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}} + 32 \, \int \frac{3 \,{\left (e^{\left (3 \, d x + 3 \, c\right )} + e^{\left (d x + c\right )}\right )}}{128 \,{\left (a^{3} + a^{2} b +{\left (a^{3} e^{\left (4 \, c\right )} + a^{2} b e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 2 \,{\left (a^{3} e^{\left (2 \, c\right )} - a^{2} b e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^5/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(3*(a*e^(7*c) + b*e^(7*c))*e^(7*d*x) + (11*a*e^(5*c) - 9*b*e^(5*c))*e^(5*d*x) - (11*a*e^(3*c) - 9*b*e^(3*c
))*e^(3*d*x) - 3*(a*e^c + b*e^c)*e^(d*x))/(a^4*d + 2*a^3*b*d + a^2*b^2*d + (a^4*d*e^(8*c) + 2*a^3*b*d*e^(8*c)
+ a^2*b^2*d*e^(8*c))*e^(8*d*x) + 4*(a^4*d*e^(6*c) - a^2*b^2*d*e^(6*c))*e^(6*d*x) + 2*(3*a^4*d*e^(4*c) - 2*a^3*
b*d*e^(4*c) + 3*a^2*b^2*d*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 4*(a^4*d*e^(2*c) - a^2*b^2*d*e^(2*c))*e^(2*d*x)) + 32*integrate
(3/128*(e^(3*d*x + 3*c) + e^(d*x + c))/(a^3 + a^2*b + (a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(a^3*e^(2*c)
- a^2*b*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.78232, size = 12057, normalized size = 115.93 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^5/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*(12*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 84*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 +
12*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(d*x + c)^7 + 4*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 4*(11*a^3 + 2*a
^2*b - 9*a*b^2 + 63*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 20*(21*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*
cosh(d*x + c)^3 + (11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - 4*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)
*cosh(d*x + c)^3 + 4*(105*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 11*a^3 - 2*a^2*b + 9*a*b^2 + 10*(11*a^3 +
2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3 + 4*(63*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(11*a
^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 - 3*((
a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2)
*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(
d*x + c)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(3*a^
2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^
2 + 3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^2 - b^2)*cosh(d*
x + c)^3 + (3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(a^2
+ 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 +
a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(d
*x + c)^5 + (3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (a^2 - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(-a^2 - a*
b)*log(((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 - 2*(3*a +
b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 - (
3*a + b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) - 4*(cosh(d*x + c)^3 + 3*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + sinh(d*x + c)^3
+ (3*cosh(d*x + c)^2 - 1)*sinh(d*x + c) - cosh(d*x + c))*sqrt(-a^2 - a*b) + a + b)/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 +
4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*
cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) +
a + b)) - 12*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c) + 4*(21*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(11*a^
3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*a^3 - 6*a^2*b - 3*a*b^2 - 3*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x +
c)^2)*sinh(d*x + c))/((a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2
+ a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^6
+ a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2
+ (a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^6 + a^5*b + a^4*b^2 + 3*a^3*b^3)*d*cosh(d*x +
c)^4 + 8*(7*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*co
sh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^6 + a^5*b
- a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^6 + a^5*b + a^4*b^2 + 3*a^3*b^3)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^6 +
a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^5 +
10*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^6 + a^5*b + a^4*b^2 + 3*a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)
)*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 -
a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^6 + a^5*b + a^4*b^2 + 3*a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^6 + a^5*b - a^4*b
^2 - a^3*b^3)*d)*sinh(d*x + c)^2 + (a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d + 8*((a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a
^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^6 + a^5*b + a^4*b^2 +
3*a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)), 1/8*(6*(a^3
+ 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 42*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + 6*(a^3 + 2*a^
2*b + a*b^2)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2
+ 63*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 10*(21*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^3
+ (11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - 2*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c)^
3 + 2*(105*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 11*a^3 - 2*a^2*b + 9*a*b^2 + 10*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b
^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(63*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(11*a^3 + 2*a^2*b -
9*a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 3*((a^2 + 2*a*b + b
^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^
8 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*
(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b
^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 2*a
*b + 3*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a
^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*
cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh
(d*x + c)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^5 + (3*
a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (a^2 - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(a^2 + a*b)*arctan(1/2*((
a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (3*a - b)*cosh(d*
x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a - b)*sinh(d*x + c))/sqrt(a^2 + a*b)) + 3*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d
*x + c)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^2
- b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(a^2 +
2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d
*x + c)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2
)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^2 - 2*a*b
+ 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x +
c)^6 + 15*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^
2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^2 - 2*a*
b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (a^2 - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(a^2 + a*b)*arctan(1/2*sqrt(a^2 + a
*b)*(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c))/a) - 6*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c) + 2*(21*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^
2)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(11*a^3 + 2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*a^3 - 6*a^2*b - 3*a*b^2 - 3*(11*a^3 +
2*a^2*b - 9*a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))/((a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^8 +
8*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3
)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2
+ a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^6 + a^5*b + a^4*b
^2 + 3*a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^6 + a^
5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh
(d*x + c)^4 + 30*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^6 + a^5*b + a^4*b^2 + 3*a^3*b^3)*d
)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 +
a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^6 + a^5*b + a^4*b^2
+ 3*a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^6
+ 15*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^6 + a^5*b + a^4*b^2 + 3*a^3*b^3)*d*cosh(d*x
+ c)^2 + (a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d)*sinh(d*x + c)^2 + (a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d + 8*((
a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^5
+ (3*a^6 + a^5*b + a^4*b^2 + 3*a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^6 + a^5*b - a^4*b^2 - a^3*b^3)*d*cosh(d*x + c)
)*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)**5/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 2.29725, size = 5954, normalized size = 57.25 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^5/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/32*(6*(3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*c
osh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a
^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b
^2)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/
(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*
b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*s
in(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2
*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^2*b + 2*a
*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b
^2)*sqrt(-a*b))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/
(a + b))))^3 + (2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*sin(1/2*re
al_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan((((a^3 +
a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*x))/(((a^3 + a^2*b)/(a^3*
e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3) + 6*(3*(2*a^
2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^2*b + 2*a*b^2 -
(a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^3 - 9*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b
/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*
cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin
h(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real
_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2
- (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^
2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*
sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (
2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*sin(1/2*real_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan(-(((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(
4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) - e^(d*x))/(((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b
*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3) + 3*((2*a^2*b + 2*a*b^2 - (
a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^3 - 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b
))))^2 - 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*c
osh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(
2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a
/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^2 - 9*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b
/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b
))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*co
s(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(
2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^2*b + 2*a*b
^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(2*((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*
c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c))) + e^(
2*d*x))/(a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3) - 3*((2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arcc
os(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 -
(a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b
) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*s
qrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*c
os(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/
2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^2*
b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(2*a^2*b + 2*a*b^2
- (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))^2 - (2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
)))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*c
os(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^2*b + 2*a*b^2 - (a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^2*b + 2*a*b^2 -
(a^2 - b^2)*sqrt(-a*b))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b
) + b/(a + b)))))*log(-2*((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))
*e^(d*x) + sqrt((a^3 + a^2*b)/(a^3*e^(4*c) + a^2*b*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3) + 8*(3
*a*e^(7*d*x + 7*c) + 3*b*e^(7*d*x + 7*c) + 11*a*e^(5*d*x + 5*c) - 9*b*e^(5*d*x + 5*c) - 11*a*e^(3*d*x + 3*c) +
9*b*e^(3*d*x + 3*c) - 3*a*e^(d*x + c) - 3*b*e^(d*x + c))/((a*e^(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x + 4*c) + 2*a*e^(2*d
*x + 2*c) - 2*b*e^(2*d*x + 2*c) + a + b)^2*a^2))/d