### 3.129 $$\int \frac{\text{sech}^3(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^3} \, dx$$

Optimal. Leaf size=129 $\frac{(4 a+3 b) \sinh (c+d x)}{8 a^2 d (a+b) \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{(4 a+3 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{5/2} d (a+b)^{3/2}}+\frac{b \sinh (c+d x)}{4 a d (a+b) \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )^2}$

[Out]

((4*a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Sinh[c + d*x])/(4*a
*(a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2) + ((4*a + 3*b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c
+ d*x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.119973, antiderivative size = 129, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 4, number of rules used = 4, integrand size = 23, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.174, Rules used = {3676, 385, 199, 205} $\frac{(4 a+3 b) \sinh (c+d x)}{8 a^2 d (a+b) \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{(4 a+3 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{5/2} d (a+b)^{3/2}}+\frac{b \sinh (c+d x)}{4 a d (a+b) \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )^2}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Sech[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

((4*a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Sinh[c + d*x])/(4*a
*(a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2) + ((4*a + 3*b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c
+ d*x]^2))

Rule 3676

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[ExpandToSum[b*(ff*x)^n + a*(1 - ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1 -
ff^2*x^2)^((m + n*p + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] &&
IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

Rule 385

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[((b*c - a*d)*x*(a + b*x^n)^(p +
1))/(a*b*n*(p + 1)), x] - Dist[(a*d - b*c*(n*(p + 1) + 1))/(a*b*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /
; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (LtQ[p, -1] || ILtQ[1/n + p, 0])

Rule 199

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Simp[(x*(a + b*x^n)^(p + 1))/(a*n*(p + 1)), x] + Dist[(n*(p +
1) + 1)/(a*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && (In
tegerQ[2*p] || (n == 2 && IntegerQ[4*p]) || (n == 2 && IntegerQ[3*p]) || Denominator[p + 1/n] < Denominator[p]
)

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\text{sech}^3(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1+x^2}{\left (a+(a+b) x^2\right )^3} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{b \sinh (c+d x)}{4 a (a+b) d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{\left (\frac{3}{a}+\frac{1}{a+b}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (a+(a+b) x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{4 d}\\ &=\frac{b \sinh (c+d x)}{4 a (a+b) d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{(4 a+3 b) \sinh (c+d x)}{8 a^2 (a+b) d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}+\frac{(4 a+3 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+(a+b) x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{8 a^2 (a+b) d}\\ &=\frac{(4 a+3 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{5/2} (a+b)^{3/2} d}+\frac{b \sinh (c+d x)}{4 a (a+b) d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{(4 a+3 b) \sinh (c+d x)}{8 a^2 (a+b) d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.742373, size = 123, normalized size = 0.95 $\frac{(4 a+3 b) \left (\frac{3 (a+b) \sinh ^3(c+d x)+5 a \sinh (c+d x)}{a^2 \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )^2}+\frac{3 \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{a^{5/2} \sqrt{a+b}}\right )-\frac{8 \sinh (c+d x)}{\left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )^2}}{24 d (a+b)}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Sech[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

((-8*Sinh[c + d*x])/(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2 + (4*a + 3*b)*((3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[
a]])/(a^(5/2)*Sqrt[a + b]) + (5*a*Sinh[c + d*x] + 3*(a + b)*Sinh[c + d*x]^3)/(a^2*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2
)^2)))/(24*(a + b)*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.12, size = 1226, normalized size = 9.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sech(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

-1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/(a+b)*tanh(1/2*d*x+1/2*
c)^7-5/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a/(a+b)*tanh(1/2*
d*x+1/2*c)^7*b-1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/(a+b)*tan
h(1/2*d*x+1/2*c)^5-13/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a/
(a+b)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^5*b-3/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b
+a)^2/a^2/(a+b)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^5*b^2+1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*
x+1/2*c)^2*b+a)^2/(a+b)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3+13/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh
(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a/(a+b)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3*b+3/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*
a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a^2/(a+b)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3*b^2+1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d
*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/(a+b)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)+5/4/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1
/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2/a/(a+b)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*b-1/2/d/a/(a+b)/((2*(b*(a+b))^(1/
2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+1/2/d/a/(a+b)/(b*(a+b))^
(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))*b
+1/2/d/a/(a+b)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^
(1/2))+1/2/d/a/(a+b)/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(
a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))*b-3/8/d/a^2/(a+b)*b/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/
2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+3/8/d/a^2/(a+b)/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*
arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))*b^2+3/8/d/a^2/(a+b)*b/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a
+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+3/8/d/a^2/(a+b)/(b*(a+b))^(1/
2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))*b^2

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{{\left (4 \, a^{2} e^{\left (7 \, c\right )} + 7 \, a b e^{\left (7 \, c\right )} + 3 \, b^{2} e^{\left (7 \, c\right )}\right )} e^{\left (7 \, d x\right )} +{\left (4 \, a^{2} e^{\left (5 \, c\right )} - a b e^{\left (5 \, c\right )} - 9 \, b^{2} e^{\left (5 \, c\right )}\right )} e^{\left (5 \, d x\right )} -{\left (4 \, a^{2} e^{\left (3 \, c\right )} - a b e^{\left (3 \, c\right )} - 9 \, b^{2} e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} -{\left (4 \, a^{2} e^{c} + 7 \, a b e^{c} + 3 \, b^{2} e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{4 \,{\left (a^{5} d + 3 \, a^{4} b d + 3 \, a^{3} b^{2} d + a^{2} b^{3} d +{\left (a^{5} d e^{\left (8 \, c\right )} + 3 \, a^{4} b d e^{\left (8 \, c\right )} + 3 \, a^{3} b^{2} d e^{\left (8 \, c\right )} + a^{2} b^{3} d e^{\left (8 \, c\right )}\right )} e^{\left (8 \, d x\right )} + 4 \,{\left (a^{5} d e^{\left (6 \, c\right )} + a^{4} b d e^{\left (6 \, c\right )} - a^{3} b^{2} d e^{\left (6 \, c\right )} - a^{2} b^{3} d e^{\left (6 \, c\right )}\right )} e^{\left (6 \, d x\right )} + 2 \,{\left (3 \, a^{5} d e^{\left (4 \, c\right )} + a^{4} b d e^{\left (4 \, c\right )} + a^{3} b^{2} d e^{\left (4 \, c\right )} + 3 \, a^{2} b^{3} d e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 4 \,{\left (a^{5} d e^{\left (2 \, c\right )} + a^{4} b d e^{\left (2 \, c\right )} - a^{3} b^{2} d e^{\left (2 \, c\right )} - a^{2} b^{3} d e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}} + 8 \, \int \frac{{\left (4 \, a e^{\left (3 \, c\right )} + 3 \, b e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} +{\left (4 \, a e^{c} + 3 \, b e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{32 \,{\left (a^{4} + 2 \, a^{3} b + a^{2} b^{2} +{\left (a^{4} e^{\left (4 \, c\right )} + 2 \, a^{3} b e^{\left (4 \, c\right )} + a^{2} b^{2} e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 2 \,{\left (a^{4} e^{\left (2 \, c\right )} - a^{2} b^{2} e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*((4*a^2*e^(7*c) + 7*a*b*e^(7*c) + 3*b^2*e^(7*c))*e^(7*d*x) + (4*a^2*e^(5*c) - a*b*e^(5*c) - 9*b^2*e^(5*c))
*e^(5*d*x) - (4*a^2*e^(3*c) - a*b*e^(3*c) - 9*b^2*e^(3*c))*e^(3*d*x) - (4*a^2*e^c + 7*a*b*e^c + 3*b^2*e^c)*e^(
d*x))/(a^5*d + 3*a^4*b*d + 3*a^3*b^2*d + a^2*b^3*d + (a^5*d*e^(8*c) + 3*a^4*b*d*e^(8*c) + 3*a^3*b^2*d*e^(8*c)
+ a^2*b^3*d*e^(8*c))*e^(8*d*x) + 4*(a^5*d*e^(6*c) + a^4*b*d*e^(6*c) - a^3*b^2*d*e^(6*c) - a^2*b^3*d*e^(6*c))*e
^(6*d*x) + 2*(3*a^5*d*e^(4*c) + a^4*b*d*e^(4*c) + a^3*b^2*d*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*d*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 4*(a^5*
d*e^(2*c) + a^4*b*d*e^(2*c) - a^3*b^2*d*e^(2*c) - a^2*b^3*d*e^(2*c))*e^(2*d*x)) + 8*integrate(1/32*((4*a*e^(3*
c) + 3*b*e^(3*c))*e^(3*d*x) + (4*a*e^c + 3*b*e^c)*e^(d*x))/(a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2 + (a^4*e^(4*c) + 2*a^3*b*e
^(4*c) + a^2*b^2*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(a^4*e^(2*c) - a^2*b^2*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.87703, size = 15408, normalized size = 119.44 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*(4*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 28*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b
^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*sinh(d*x + c)^7 + 4*(4*a^4 + 3
*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 4*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3 + 21*(4*a^4 + 11*a^
3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 20*(7*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)
*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - 4*(4*a^4 + 3*a^3*
b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(35*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c)^4 -
4*a^4 - 3*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 9*a*b^3 + 10*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x
+ c)^3 + 4*(21*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 -
9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 - ((4*a^
3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(
d*x + c)^7 + (4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cos
h(d*x + c)^6 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3 + 7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^2)
*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 -
3*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(4*a^3 +
11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3 + 30*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b
^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 10
*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(
d*x + c)^3 + 4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(
7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)
^4 + 4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3 + 3*(12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2
+ 8*((4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x +
c)^5 + (12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)
)*sinh(d*x + c))*sqrt(-a^2 - a*b)*log(((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a
+ b)*sinh(d*x + c)^4 - 2*(3*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a - b)*sinh(d*x + c)^2 +
4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 - (3*a + b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) - 4*(cosh(d*x + c)^3 + 3*cosh(d*x + c)*si
nh(d*x + c)^2 + sinh(d*x + c)^3 + (3*cosh(d*x + c)^2 - 1)*sinh(d*x + c) - cosh(d*x + c))*sqrt(-a^2 - a*b) + a
+ b)/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*
cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)
*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) - 4*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c) + 4*(7*(4*
a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x +
c)^4 - 4*a^4 - 11*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 3*a*b^3 - 3*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*
sinh(d*x + c))/((a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5
*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4
)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*
b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3
*a^7 + 4*a^6*b + 2*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^
4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5
+ 2*(35*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 -
a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^7 + 4*a^6*b + 2*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^7
+ 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d
*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^7 + 4*a^6*b + 2*a^5*b^2 +
4*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b
^4)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^7 + 4*a^6*b + 2*a^
5*b^2 + 4*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d)*sinh(d*x + c)^2 +
(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d + 8*((a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*c
osh(d*x + c)^7 + 3*(a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^7 + 4*a^6*b + 2*a^5*b^2 + 4*
a^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))
, 1/8*(2*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 14*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b
^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(4*a^4 + 3
*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3 + 21*(4*a^4 + 11*a^
3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 10*(7*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)
*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - 2*(4*a^4 + 3*a^3*
b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(35*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c)^4 -
4*a^4 - 3*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 9*a*b^3 + 10*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x
+ c)^3 + 2*(21*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 -
9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + ((4*a^
3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(
d*x + c)^7 + (4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cos
h(d*x + c)^6 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3 + 7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^2)
*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 -
3*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(4*a^3 +
11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3 + 30*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b
^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 10
*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(
d*x + c)^3 + 4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(
7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)
^4 + 4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3 + 3*(12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2
+ 8*((4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x +
c)^5 + (12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)
)*sinh(d*x + c))*sqrt(a^2 + a*b)*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2
+ (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (3*a - b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a - b)*sinh(d*x + c))/sq
rt(a^2 + a*b)) + ((4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b
^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b
- 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3 + 7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 +
3*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a^
3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x
+ c)^4 + 2*(35*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3 + 30*(
4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^
3)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^
3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3
)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2
- 3*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2 - 3*b^3 + 3*(12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x
+ c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((4*a^3 + 11*a^2*b + 10*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*
b^2 - 3*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + (12*a^3 + a^2*b + 6*a*b^2 + 9*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^3 + 3*a^2*b - 4*a*b^2
- 3*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(a^2 + a*b)*arctan(1/2*sqrt(a^2 + a*b)*(cosh(d*x + c) + sinh(d*x +
c))/a) - 2*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*a*b^3)*cosh(d*x + c) + 2*(7*(4*a^4 + 11*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 3*
a*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 4*a^4 - 11*a^3*b - 10*a^
2*b^2 - 3*a*b^3 - 3*(4*a^4 + 3*a^3*b - 10*a^2*b^2 - 9*a*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))/((a^7 + 4*a^6*b +
6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*co
sh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^7 + 2
*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cos
h(d*x + c)^2 + (a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^7 + 4*a^6*b + 2*a^5*b^2 + 4*a
^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)
^3 + 3*(a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b
^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*
a^7 + 4*a^6*b + 2*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4
)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^7 + 2*a
^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^7 + 4*a^6*b + 2*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d*cosh(d
*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^7
+ 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^7 + 4*a^6*b + 2*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d
*cosh(d*x + c)^2 + (a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d)*sinh(d*x + c)^2 + (a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a
^4*b^3 + a^3*b^4)*d + 8*((a^7 + 4*a^6*b + 6*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^7 + 2*a^6*
b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^7 + 4*a^6*b + 2*a^5*b^2 + 4*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4)*d*cosh(d*x
+ c)^3 + (a^7 + 2*a^6*b - 2*a^4*b^3 - a^3*b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)**3/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 2.42807, size = 7308, normalized size = 56.65 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/32*(2*(3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b)))) - (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cosh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(4*a^5
*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/
(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2
*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e
^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2
*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*
e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e
^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c
) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag
_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*
e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
) - (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan((((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)/(
a^4*e^(4*c) + 2*a^3*b*e^(4*c) + a^2*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*x))/(((a^4 +
2*a^3*b + a^2*b^2)/(a^4*e^(4*c) + 2*a^3*b*e^(4*c) + a^2*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))))
)/(2*(a^3*e^(2*c) + a^2*b*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) - a^2*b^2*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^3*e^(2*c) - a^2*b
*e^(2*c))) + 2*(3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*
cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9
*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*
a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(4*a^5*e^(4*c) + 11*
a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*c
osh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2
*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a
^2*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^
3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arcc
os(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b
*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1
/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a
^2*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b)))) - (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan(-(((a^4 + 2*a^3*b + a^
2*b^2)/(a^4*e^(4*c) + 2*a^3*b*e^(4*c) + a^2*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) - e^(d*x))/(
((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)/(a^4*e^(4*c) + 2*a^3*b*e^(4*c) + a^2*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a
+ b)))))/(2*(a^3*e^(2*c) + a^2*b*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) - a^2*b^2*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^3*e^(2*c)
- a^2*b*e^(2*c))) + ((4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real
_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(4*a^5*e^(4
*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))
^2 - 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a
/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b)))) + 9*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*
real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_
part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(4*a^5*e^(4*c)
+ 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))
))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2
- 9*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 1
0*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(
4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*
sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c)
+ 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b)))) - (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(2*((a^4 + 2*a^3*b +
a^2*b^2)/(a^4*e^(4*c) + 2*a^3*b*e^(4*c) + a^2*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) +
sqrt((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)/(a^4*e^(4*c) + 2*a^3*b*e^(4*c) + a^2*b^2*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*(a^3*e^(2*c
) + a^2*b*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) - a^2*b^2*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^3*e^(2*c) - a^2*b*e^(2*c))) - ((4
*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) +
10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(4*a^5*e^(4*c) +
11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^
3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) +
9*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10
*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(4*a^5*e^(4*c) + 11
*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*co
sh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^
2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))^3 + 3*(4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^5*e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*co
s(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (4*a^5*
e^(4*c) + 11*a^4*b*e^(4*c) + 10*a^3*b^2*e^(4*c) + 3*a^2*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(-2*((a^4 + 2*a^3*b + a^2*b^2)/(a^4*e^(4*c)
+ 2*a^3*b*e^(4*c) + a^2*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^4 + 2*a^3*b +
a^2*b^2)/(a^4*e^(4*c) + 2*a^3*b*e^(4*c) + a^2*b^2*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*(a^3*e^(2*c) + a^2*b*e^(2*c))^2*a*
b + (a^4*e^(2*c) - a^2*b^2*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^3*e^(2*c) - a^2*b*e^(2*c))) + 8*(4*a^2*e^(7*d*x + 7*c) +
7*a*b*e^(7*d*x + 7*c) + 3*b^2*e^(7*d*x + 7*c) + 4*a^2*e^(5*d*x + 5*c) - a*b*e^(5*d*x + 5*c) - 9*b^2*e^(5*d*x
+ 5*c) - 4*a^2*e^(3*d*x + 3*c) + a*b*e^(3*d*x + 3*c) + 9*b^2*e^(3*d*x + 3*c) - 4*a^2*e^(d*x + c) - 7*a*b*e^(d*
x + c) - 3*b^2*e^(d*x + c))/((a^3 + a^2*b)*(a*e^(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x + 4*c) + 2*a*e^(2*d*x + 2*c) - 2*b*
e^(2*d*x + 2*c) + a + b)^2))/d