### 3.124 $$\int \frac{\text{sech}^7(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^2} \, dx$$

Optimal. Leaf size=155 $-\frac{(4 a-b) (a+b)^{3/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{3/2} b^3 d}+\frac{(2 a+b) (a+b) \sinh (c+d x)}{2 a b^2 d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{(4 a+5 b) \tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{2 b^3 d}-\frac{\tanh (c+d x) \text{sech}(c+d x)}{2 b d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}$

[Out]

((4*a + 5*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*b^3*d) - ((4*a - b)*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sq
rt[a]])/(2*a^(3/2)*b^3*d) + ((a + b)*(2*a + b)*Sinh[c + d*x])/(2*a*b^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)) - (Sec
h[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.24918, antiderivative size = 155, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 23, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.261, Rules used = {3676, 414, 527, 522, 203, 205} $-\frac{(4 a-b) (a+b)^{3/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{3/2} b^3 d}+\frac{(2 a+b) (a+b) \sinh (c+d x)}{2 a b^2 d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{(4 a+5 b) \tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{2 b^3 d}-\frac{\tanh (c+d x) \text{sech}(c+d x)}{2 b d \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Sech[c + d*x]^7/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

((4*a + 5*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*b^3*d) - ((4*a - b)*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sq
rt[a]])/(2*a^(3/2)*b^3*d) + ((a + b)*(2*a + b)*Sinh[c + d*x])/(2*a*b^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)) - (Sec
h[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))

Rule 3676

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[ExpandToSum[b*(ff*x)^n + a*(1 - ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1 -
ff^2*x^2)^((m + n*p + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] &&
IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

Rule 414

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(b*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*
(c + d*x^n)^q*Simp[b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinomial
Q[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\text{sech}^7(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1+x^2\right )^2 \left (a+(a+b) x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{d}\\ &=-\frac{\text{sech}(c+d x) \tanh (c+d x)}{2 b d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+2 b-3 (a+b) x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+(a+b) x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{2 b d}\\ &=\frac{(a+b) (2 a+b) \sinh (c+d x)}{2 a b^2 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}-\frac{\text{sech}(c+d x) \tanh (c+d x)}{2 b d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{2 \left (2 a^2+2 a b-b^2\right )-2 (a+b) (2 a+b) x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+(a+b) x^2\right )} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{4 a b^2 d}\\ &=\frac{(a+b) (2 a+b) \sinh (c+d x)}{2 a b^2 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}-\frac{\text{sech}(c+d x) \tanh (c+d x)}{2 b d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}-\frac{\left ((4 a-b) (a+b)^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+(a+b) x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{2 a b^3 d}+\frac{(4 a+5 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{2 b^3 d}\\ &=\frac{(4 a+5 b) \tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{2 b^3 d}-\frac{(4 a-b) (a+b)^{3/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{3/2} b^3 d}+\frac{(a+b) (2 a+b) \sinh (c+d x)}{2 a b^2 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}-\frac{\text{sech}(c+d x) \tanh (c+d x)}{2 b d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.30308, size = 265, normalized size = 1.71 $\frac{(a-b) \left (2 a^{3/2} (4 a+5 b) \sqrt{a+b} \tan ^{-1}\left (\tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )+a^{3/2} b \sqrt{a+b} \tanh (c+d x) \text{sech}(c+d x)+(4 a-b) (a+b)^2 \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \text{csch}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )\right )+(a+b) \cosh (2 (c+d x)) \left (2 a^{3/2} (4 a+5 b) \sqrt{a+b} \tan ^{-1}\left (\tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )+a^{3/2} b \sqrt{a+b} \tanh (c+d x) \text{sech}(c+d x)+(4 a-b) (a+b)^2 \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \text{csch}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )\right )+2 \sqrt{a} b (a+b)^{5/2} \sinh (c+d x)}{2 a^{3/2} b^3 d \sqrt{a+b} ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Sech[c + d*x]^7/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

(2*Sqrt[a]*b*(a + b)^(5/2)*Sinh[c + d*x] + (a - b)*((4*a - b)*(a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Csch[c + d*x])/Sqrt[a
+ b]] + 2*a^(3/2)*Sqrt[a + b]*(4*a + 5*b)*ArcTan[Tanh[(c + d*x)/2]] + a^(3/2)*b*Sqrt[a + b]*Sech[c + d*x]*Tanh
[c + d*x]) + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)]*((4*a - b)*(a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Csch[c + d*x])/Sqrt[a + b]] + 2*a^
(3/2)*Sqrt[a + b]*(4*a + 5*b)*ArcTan[Tanh[(c + d*x)/2]] + a^(3/2)*b*Sqrt[a + b]*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]))/
(2*a^(3/2)*b^3*Sqrt[a + b]*d*(a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.102, size = 1477, normalized size = 9.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sech(d*x+c)^7/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x)

[Out]

-2/d/b^2*a^2/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(
1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))-2/d/b^2*a^2/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/
2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+1/2/d/(b*(a+b))^(1/2)/a/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(
a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))*b-2/d/b^3*a^2/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*a
rctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+5/d/b^2*arctan(tanh(1/2*d*x+1/2*c))-1/d/b^2/(
tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)*a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3-2/d/(ta
nh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)/b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3+2/d/(tanh
(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)/b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1/d/b/((2*(b*
(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))-1/d/b/((2*(b*(
a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+1/2/d/(b*(a+b))^
(1/2)/a/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))*
b-1/d/b^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3+1/d/b^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+1)^2*tanh(1/2*d*x+1
/2*c)+4/d/b^3*arctan(tanh(1/2*d*x+1/2*c))*a-7/2/d/b^2*a/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*
d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))-1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(
1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3+1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/
2*d*x+1/2*c)^2*b+a)/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1/d/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*ta
nh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))-1/2/d/a/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*t
anh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))-1/d/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2
)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+1/2/d/a/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2
)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))-7/2/d/b*a/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1
/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))-7/2/d/b*a/(b*(a+b))^(1/
2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+7/2/d
/b^2*a/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+
1/d/b^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)*a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)+
2/d/b^3*a^2/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1
/2))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{{\left (2 \, a^{2} e^{\left (7 \, c\right )} + 3 \, a b e^{\left (7 \, c\right )} + b^{2} e^{\left (7 \, c\right )}\right )} e^{\left (7 \, d x\right )} +{\left (2 \, a^{2} e^{\left (5 \, c\right )} - a b e^{\left (5 \, c\right )} + b^{2} e^{\left (5 \, c\right )}\right )} e^{\left (5 \, d x\right )} -{\left (2 \, a^{2} e^{\left (3 \, c\right )} - a b e^{\left (3 \, c\right )} + b^{2} e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} -{\left (2 \, a^{2} e^{c} + 3 \, a b e^{c} + b^{2} e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{4 \, a^{2} b^{2} d e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + 4 \, a^{2} b^{2} d e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + a^{2} b^{2} d + a b^{3} d +{\left (a^{2} b^{2} d e^{\left (8 \, c\right )} + a b^{3} d e^{\left (8 \, c\right )}\right )} e^{\left (8 \, d x\right )} + 2 \,{\left (3 \, a^{2} b^{2} d e^{\left (4 \, c\right )} - a b^{3} d e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )}} + \frac{{\left (4 \, a e^{c} + 5 \, b e^{c}\right )} \arctan \left (e^{\left (d x + c\right )}\right ) e^{\left (-c\right )}}{b^{3} d} - 128 \, \int \frac{{\left (4 \, a^{3} e^{\left (3 \, c\right )} + 7 \, a^{2} b e^{\left (3 \, c\right )} + 2 \, a b^{2} e^{\left (3 \, c\right )} - b^{3} e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} +{\left (4 \, a^{3} e^{c} + 7 \, a^{2} b e^{c} + 2 \, a b^{2} e^{c} - b^{3} e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{128 \,{\left (a^{2} b^{3} + a b^{4} +{\left (a^{2} b^{3} e^{\left (4 \, c\right )} + a b^{4} e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 2 \,{\left (a^{2} b^{3} e^{\left (2 \, c\right )} - a b^{4} e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^7/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

((2*a^2*e^(7*c) + 3*a*b*e^(7*c) + b^2*e^(7*c))*e^(7*d*x) + (2*a^2*e^(5*c) - a*b*e^(5*c) + b^2*e^(5*c))*e^(5*d*
x) - (2*a^2*e^(3*c) - a*b*e^(3*c) + b^2*e^(3*c))*e^(3*d*x) - (2*a^2*e^c + 3*a*b*e^c + b^2*e^c)*e^(d*x))/(4*a^2
*b^2*d*e^(6*d*x + 6*c) + 4*a^2*b^2*d*e^(2*d*x + 2*c) + a^2*b^2*d + a*b^3*d + (a^2*b^2*d*e^(8*c) + a*b^3*d*e^(8
*c))*e^(8*d*x) + 2*(3*a^2*b^2*d*e^(4*c) - a*b^3*d*e^(4*c))*e^(4*d*x)) + (4*a*e^c + 5*b*e^c)*arctan(e^(d*x + c)
)*e^(-c)/(b^3*d) - 128*integrate(1/128*((4*a^3*e^(3*c) + 7*a^2*b*e^(3*c) + 2*a*b^2*e^(3*c) - b^3*e^(3*c))*e^(3
*d*x) + (4*a^3*e^c + 7*a^2*b*e^c + 2*a*b^2*e^c - b^3*e^c)*e^(d*x))/(a^2*b^3 + a*b^4 + (a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4
*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(a^2*b^3*e^(2*c) - a*b^4*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.93312, size = 15050, normalized size = 97.1 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^7/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(4*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 28*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6
+ 4*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(d*x + c)^7 + 4*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 4*(2*a^2*b - a*b^
2 + b^3 + 21*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 20*(7*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh
(d*x + c)^3 + (2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - 4*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)
^3 + 4*(35*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 2*a^2*b + a*b^2 - b^3 + 10*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh
(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3 + 4*(21*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*co
sh(d*x + c)^3 - 3*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 - ((4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*
cosh(d*x + c)^8 + 8*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b
^2 - b^3)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2 + 7*(4*a^
3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*
x + c)^3 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*c
osh(d*x + c)^4 + 2*(35*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3 +
30*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*
x + c)^5 + 10*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*si
nh(d*x + c)^3 + 4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(4*a^3 +
7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 4*a^3 + 3*a^2*b - a*
b^2 + 3*(12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 -
b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + (12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*cosh(d
*x + c)^3 + (4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(-(a + b)/a)*log(((a + b)*cosh(d*x + c
)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 - 2*(3*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(
a + b)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 - (3*a + b)*cosh(d*x + c))*sinh
(d*x + c) + 4*(a*cosh(d*x + c)^3 + 3*a*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + a*sinh(d*x + c)^3 - a*cosh(d*x + c) + (
3*a*cosh(d*x + c)^2 - a)*sinh(d*x + c))*sqrt(-(a + b)/a) + a + b)/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*
x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 +
a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) + 4*((4*a
^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (4*a^3
+ 9*a^2*b + 5*a*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(4*a^3 + 5*a^2*b + 7*(4*a^3 +
9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*
a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(12*a^3 + 11*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(4*a^3
+ 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 12*a^3 + 11*a^2*b - 5*a*b^2 + 30*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^2)*si
nh(d*x + c)^4 + 8*(7*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^3 + (12*
a^3 + 11*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2 + 4*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cos
h(d*x + c)^2 + 4*(7*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*a^3
+ 5*a^2*b + 3*(12*a^3 + 11*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)
*cosh(d*x + c)^7 + 3*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^5 + (12*a^3 + 11*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^
3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*arctan(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c)) - 4*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)
*cosh(d*x + c) + 4*(7*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 -
2*a^2*b - 3*a*b^2 - b^3 - 3*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))/(4*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)
^6 + (a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^2*b^3 + a*
b^4)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^2 + 4*(a^2*b^3*d + 7*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^2)*s
inh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^2*b^3 - a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(3*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c) + 7*(a^2*b^3 + a*b^4)*
d*cosh(d*x + c)^3)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(30*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^2 + 35*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4
+ (3*a^2*b^3 - a*b^4)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(10*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^3 + 7*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x +
c)^5 + (3*a^2*b^3 - a*b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(15*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^4 + 7*(a^2*b^3 + a
*b^4)*d*cosh(d*x + c)^6 + a^2*b^3*d + 3*(3*a^2*b^3 - a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + (a^2*b^3 + a*
b^4)*d + 8*(3*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^5 + (a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^7 + a^2*b^3*d*cosh(d*x + c) + (3*a
^2*b^3 - a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^3)*sinh(d*x + c)), 1/2*(2*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 14*(2*a^
2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(2*a^2*b
- a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3 + 21*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh
(d*x + c)^5 + 10*(7*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*
x + c)^4 - 2*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(35*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 2*a^2
*b + a*b^2 - b^3 + 10*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(21*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^
3)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sin
h(d*x + c)^2 - ((4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d
*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh
(d*x + c)^6 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2 + 7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^
6 + 8*(7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d
*x + c)^5 + 2*(12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cos
h(d*x + c)^4 + 12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3 + 30*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^
4 + 8*(7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (1
2*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3 + 4*(4*a^3 +
3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(4*a^3 + 3*a^2
*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2 + 3*(12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*
sinh(d*x + c)^2 + 8*((4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x
+ c)^5 + (12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*
x + c))*sqrt((a + b)/a)*arctan(1/2*sqrt((a + b)/a)*(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c))) - ((4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*
b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (4*a^3 + 7*a^
2*b + 2*a*b^2 - b^3)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^
2 + 7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b
^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b
^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b
^2 + b^3 + 30*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b
^3)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*cosh(d
*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3 + 4*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(
7*(4*a^3 + 7*a^2*b + 2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 4*a^3 + 3
*a^2*b - a*b^2 + 3*(12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((4*a^3 + 7*a^2*b +
2*a*b^2 - b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + (12*a^3 + 5*a^2*b - 6*a*b^2 +
b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^3 + 3*a^2*b - a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt((a + b)/a)*arctan(1/2*((a
+ b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (3*a - b)*cosh(d*x
+ c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a - b)*sinh(d*x + c))*sqrt((a + b)/a)/(a + b)) + 2*((4*a^3 + 9*a^2*b + 5
*a*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a
*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(4*a^3 + 5*a^2*b + 7*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^
2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a^3 + 5*a^2*b)*c
osh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(12*a^3 + 11*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a
*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 12*a^3 + 11*a^2*b - 5*a*b^2 + 30*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 +
8*(7*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^3 + (12*a^3 + 11*a^2*b -
5*a*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2 + 4*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^2 + 4
*(7*(4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*a^3 + 5*a^2*b + 3*(
12*a^3 + 11*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((4*a^3 + 9*a^2*b + 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^7
+ 3*(4*a^3 + 5*a^2*b)*cosh(d*x + c)^5 + (12*a^3 + 11*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^3 + 5*a^2*b)*cos
h(d*x + c))*sinh(d*x + c))*arctan(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c)) - 2*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c) +
2*(7*(2*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 2*a^2*b - 3*a*b^
2 - b^3 - 3*(2*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))/(4*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^6 + (a^2*b^3 +
a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^2*b^3 + a*b^4)*d*sinh(d*x
+ c)^8 + 4*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^2 + 4*(a^2*b^3*d + 7*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 +
2*(3*a^2*b^3 - a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(3*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c) + 7*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^
3)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(30*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^2 + 35*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + (3*a^2*b^3 - a
*b^4)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(10*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^3 + 7*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^2*b^
3 - a*b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(15*a^2*b^3*d*cosh(d*x + c)^4 + 7*(a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x
+ c)^6 + a^2*b^3*d + 3*(3*a^2*b^3 - a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + (a^2*b^3 + a*b^4)*d + 8*(3*a^
2*b^3*d*cosh(d*x + c)^5 + (a^2*b^3 + a*b^4)*d*cosh(d*x + c)^7 + a^2*b^3*d*cosh(d*x + c) + (3*a^2*b^3 - a*b^4)*
d*cosh(d*x + c)^3)*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)**7/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 2.15842, size = 6431, normalized size = 41.49 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^7/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/8*(2*(3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))
))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))
- (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin
(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1
/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*
real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(4*a^4*b^2
+ 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(4*a^4*b^2 + 11*a
^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arcc
os(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))^2 - 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^3 + (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b
))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b
^6)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (
4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*
imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan((((a^2*b^3 + a*b^4)/(a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4
)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*x))/(((a^2*b^3 + a*b^4)/(a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*si
n(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(2*a^2*b^6 + (a*b^2 - b^3)*sqrt(-a*b)*b^2*abs(a)*abs(b)) + 2*(3*(4*a^4*b^2 +
11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b
^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^
4 + a*b^5 - b^6)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b
/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*
b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2
- 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*si
n(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(
4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2
*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^4*b^2
+ 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cosh(1/2*imag_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3
+ 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b)))))*arctan(-(((a^2*b^3 + a*b^4)/(a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a -
b)/(a + b))) - e^(d*x))/(((a^2*b^3 + a*b^4)/(a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/
(a + b)))))/(2*a^2*b^6 + (a*b^2 - b^3)*sqrt(-a*b)*b^2*abs(a)*abs(b)) + ((4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 +
a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^3 - 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))
^2 - 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3
*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9
*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*i
mag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_
part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9
*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^3 + 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b
) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b
/(a + b))))^3 + (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^
6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log
(2*((a^2*b^3 + a*b^4)/(a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqr
t((a^2*b^3 + a*b^4)/(a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*a^2*b^6 + (a*b^2 - b^3)*sqrt(-a*b)*b^2*
abs(a)*abs(b)) - ((4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*
b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
)))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b
^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2
*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*co
s(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2
*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(4*a^4*b
^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_
part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(4*a^4*b^2 + 1
1*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arc
cos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a
^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 +
a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b)))) - (4*a^4*b^2 + 11*a^3*b^3 + 9*a^2*b^4 + a*b^5 - b^6)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*
sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(-2*((a^2*b^3 + a*b^4)/(a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c
)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^2*b^3 + a*b^4)/(a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c))
) + e^(2*d*x))/(2*a^2*b^6 + (a*b^2 - b^3)*sqrt(-a*b)*b^2*abs(a)*abs(b)) - 8*(4*a*e^c + 5*b*e^c)*arctan(e^(d*x
+ c))*e^(-c)/b^3 - 8*(a^2*e^(3*d*x + 3*c) + 2*a*b*e^(3*d*x + 3*c) + b^2*e^(3*d*x + 3*c) - a^2*e^(d*x + c) - 2*
a*b*e^(d*x + c) - b^2*e^(d*x + c))/((a*e^(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x + 4*c) + 2*a*e^(2*d*x + 2*c) - 2*b*e^(2*d*
x + 2*c) + a + b)*a*b^2) - 8*(e^(3*d*x + 3*c) - e^(d*x + c))/(b^2*(e^(2*d*x + 2*c) + 1)^2))/d