### 3.118 $$\int \frac{\text{sech}(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^2} \, dx$$

Optimal. Leaf size=83 $\frac{(2 a+b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{3/2} d (a+b)^{3/2}}+\frac{b \sinh (c+d x)}{2 a d (a+b) \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}$

[Out]

((2*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Sinh[c + d*x])/(2*a*(
a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0708357, antiderivative size = 83, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 21, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.143, Rules used = {3676, 385, 205} $\frac{(2 a+b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{3/2} d (a+b)^{3/2}}+\frac{b \sinh (c+d x)}{2 a d (a+b) \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Sech[c + d*x]/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

((2*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Sinh[c + d*x])/(2*a*(
a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))

Rule 3676

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[ExpandToSum[b*(ff*x)^n + a*(1 - ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1 -
ff^2*x^2)^((m + n*p + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] &&
IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

Rule 385

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[((b*c - a*d)*x*(a + b*x^n)^(p +
1))/(a*b*n*(p + 1)), x] - Dist[(a*d - b*c*(n*(p + 1) + 1))/(a*b*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /
; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (LtQ[p, -1] || ILtQ[1/n + p, 0])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\text{sech}(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1+x^2}{\left (a+(a+b) x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{b \sinh (c+d x)}{2 a (a+b) d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}+\frac{(2 a+b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+(a+b) x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{2 a (a+b) d}\\ &=\frac{(2 a+b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{3/2} (a+b)^{3/2} d}+\frac{b \sinh (c+d x)}{2 a (a+b) d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.274639, size = 78, normalized size = 0.94 $\frac{\frac{(2 a+b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{a^{3/2} \sqrt{a+b}}+\frac{b \sinh (c+d x)}{a \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}}{2 d (a+b)}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Sech[c + d*x]/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

(((2*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*Sqrt[a + b]) + (b*Sinh[c + d*x])/(a*(a + (a
+ b)*Sinh[c + d*x]^2)))/(2*(a + b)*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.082, size = 666, normalized size = 8. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sech(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x)

[Out]

-1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)*b/a/(a+b)*tanh(1/2*d*x+1/
2*c)^3+1/d/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)*b/a/(a+b)*tanh(1/2*
d*x+1/2*c)-1/d/(a+b)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2
*b)*a)^(1/2))+1/d/(a+b)/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*
(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))*b+1/d/(a+b)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/
((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+1/d/(a+b)/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*ta
nh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))*b-1/2/d/(a+b)*b/a/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*a
rctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+1/2/d/(a+b)/a/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^
(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))*b^2+1/2/d/(a+b)*b/a/(
(2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+1/2/d/(a+
b)/a/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*
b)*a)^(1/2))*b^2

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{b e^{\left (3 \, d x + 3 \, c\right )} - b e^{\left (d x + c\right )}}{a^{3} d + 2 \, a^{2} b d + a b^{2} d +{\left (a^{3} d e^{\left (4 \, c\right )} + 2 \, a^{2} b d e^{\left (4 \, c\right )} + a b^{2} d e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 2 \,{\left (a^{3} d e^{\left (2 \, c\right )} - a b^{2} d e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}} + 2 \, \int \frac{{\left (2 \, a e^{\left (3 \, c\right )} + b e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} +{\left (2 \, a e^{c} + b e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{2 \,{\left (a^{3} + 2 \, a^{2} b + a b^{2} +{\left (a^{3} e^{\left (4 \, c\right )} + 2 \, a^{2} b e^{\left (4 \, c\right )} + a b^{2} e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 2 \,{\left (a^{3} e^{\left (2 \, c\right )} - a b^{2} e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

(b*e^(3*d*x + 3*c) - b*e^(d*x + c))/(a^3*d + 2*a^2*b*d + a*b^2*d + (a^3*d*e^(4*c) + 2*a^2*b*d*e^(4*c) + a*b^2*
d*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(a^3*d*e^(2*c) - a*b^2*d*e^(2*c))*e^(2*d*x)) + 2*integrate(1/2*((2*a*e^(3*c) + b*e^(3
*c))*e^(3*d*x) + (2*a*e^c + b*e^c)*e^(d*x))/(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + (a^3*e^(4*c) + 2*a^2*b*e^(4*c) + a*b^2*e^
(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(a^3*e^(2*c) - a*b^2*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.30218, size = 4917, normalized size = 59.24 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(4*(a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 12*(a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + 4*(a^2*b + a*b^2)
*sinh(d*x + c)^3 - ((2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c
)^3 + (2*a^2 + 3*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(2*a^2 - a*b - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(2*a^2 + 3*a*b + b^
2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*a^2 - a*b - b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 2*a^2 + 3*a*b + b^2 + 4*((2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh(
d*x + c)^3 + (2*a^2 - a*b - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(-a^2 - a*b)*log(((a + b)*cosh(d*x + c)^4 +
4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 - 2*(3*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b
)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 - (3*a + b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x
+ c) - 4*(cosh(d*x + c)^3 + 3*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + sinh(d*x + c)^3 + (3*cosh(d*x + c)^2 - 1)*sinh(d
*x + c) - cosh(d*x + c))*sqrt(-a^2 - a*b) + a + b)/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x
+ c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x
+ c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) - 4*(a^2*b + a*b^2)*cosh
(d*x + c) - 4*(a^2*b + a*b^2 - 3*(a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))/((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 +
a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a^5 +
3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + 2*
(3*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*d)*sinh(d*x + c
)^2 + (a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d + 4*((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + (
a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)), 1/2*(2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 6*(
a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + 2*(a^2*b + a*b^2)*sinh(d*x + c)^3 + ((2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh
(d*x + c)^4 + 4*(2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (2*a^2 + 3*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 +
2*(2*a^2 - a*b - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*a^2 - a*b - b^2)*sinh(d
*x + c)^2 + 2*a^2 + 3*a*b + b^2 + 4*((2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (2*a^2 - a*b - b^2)*cosh(d*x + c)
)*sinh(d*x + c))*sqrt(a^2 + a*b)*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2
+ (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (3*a - b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a - b)*sinh(d*x + c))/sq
rt(a^2 + a*b)) + ((2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^
3 + (2*a^2 + 3*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(2*a^2 - a*b - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(2*a^2 + 3*a*b + b^2)
*cosh(d*x + c)^2 + 2*a^2 - a*b - b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 2*a^2 + 3*a*b + b^2 + 4*((2*a^2 + 3*a*b + b^2)*cosh(d*
x + c)^3 + (2*a^2 - a*b - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(a^2 + a*b)*arctan(1/2*sqrt(a^2 + a*b)*(cosh(
d*x + c) + sinh(d*x + c))/a) - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x + c) - 2*(a^2*b + a*b^2 - 3*(a^2*b + a*b^2)*cosh(d*x
+ c)^2)*sinh(d*x + c))/((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^
2 + a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a^
5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)^
2 + (a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*d)*sinh(d*x + c)^2 + (a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d + 4*((a^5 +
3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*
x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\operatorname{sech}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}\right )^{2}}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**2,x)

[Out]

Integral(sech(c + d*x)/(a + b*tanh(c + d*x)**2)**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 1.68103, size = 6892, normalized size = 83.04 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/8*(2*(3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b)))) - (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(2*a^4*e^(4*c) + 5*
a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1
/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*im
ag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4
*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^
3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c)
+ a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^2 - 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a
/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(ar
ccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*sin(1
/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^4
*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c
) + a*b^3*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b
/(a + b)))))*arctan((((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)/(a^3*e^(4*c) + 2*a^2*b*e^(4*c) + a*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*a
rccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*x))/(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)/(a^3*e^(4*c) + 2*a^2*b*e^(4*c) + a*b^2*e^(4*c)))
^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(2*(a^2*e^(2*c) + a*b*e^(2*c))^2*a*b - (a^3*e^(2*c) - a*b^2*e^(2*c)
)*sqrt(-a*b)*abs(-a^2*e^(2*c) - a*b*e^(2*c))) + 2*(3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*
b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^
(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^3 - 9*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3
*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*
real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^4*e^
(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin
h(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) +
a*b^3*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b
^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c)
+ 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos
h(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^4*e
^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))
))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan(-(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)/(a^3*e^(4*c) + 2*a^2
*b*e^(4*c) + a*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) - e^(d*x))/(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)/(a^3
*e^(4*c) + 2*a^2*b*e^(4*c) + a*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(2*(a^2*e^(2*c) + a*b*e
^(2*c))^2*a*b - (a^3*e^(2*c) - a*b^2*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^2*e^(2*c) - a*b*e^(2*c))) + ((2*a^4*e^(4*c) +
5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh
(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a
*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2
*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c
) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arcc
os(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2
*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*ima
g_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(
4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*s
in(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (2
*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*
b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c
) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/
2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(2*((a^3
+ 2*a^2*b + a*b^2)/(a^3*e^(4*c) + 2*a^2*b*e^(4*c) + a*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^
(d*x) + sqrt((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)/(a^3*e^(4*c) + 2*a^2*b*e^(4*c) + a*b^2*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*(a^2*e^(
2*c) + a*b*e^(2*c))^2*a*b - (a^3*e^(2*c) - a*b^2*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^2*e^(2*c) - a*b*e^(2*c))) - ((2*a^
4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2
*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c)
+ 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(2*a^4*e^(4*c) + 5*
a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2
*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*im
ag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4
*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*
sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c)
+ a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/
(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^2 - (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4
*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (2*a^4*e^(4*c) + 5*
a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2
*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (2*a^4*e^(4*c) + 5*a^3*b*e^(4*c) + 4*a^2*b^2*e^(4*c) + a*b^3*e^(
4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*
log(-2*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)/(a^3*e^(4*c) + 2*a^2*b*e^(4*c) + a*b^2*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)
/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)/(a^3*e^(4*c) + 2*a^2*b*e^(4*c) + a*b^2*e^(4*c))) + e^(2*d*x)
)/(2*(a^2*e^(2*c) + a*b*e^(2*c))^2*a*b - (a^3*e^(2*c) - a*b^2*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^2*e^(2*c) - a*b*e^(2*
c))) + 8*(b*e^(3*d*x + 3*c) - b*e^(d*x + c))/((a^2 + a*b)*(a*e^(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x + 4*c) + 2*a*e^(2*d*
x + 2*c) - 2*b*e^(2*d*x + 2*c) + a + b)))/d