### 3.115 $$\int \frac{\cosh ^3(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^2} \, dx$$

Optimal. Leaf size=128 $\frac{b^2 (6 a+b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{3/2} d (a+b)^{7/2}}+\frac{b^3 \sinh (c+d x)}{2 a d (a+b)^3 \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{\sinh ^3(c+d x)}{3 d (a+b)^2}+\frac{(a+3 b) \sinh (c+d x)}{d (a+b)^3}$

[Out]

(b^2*(6*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(7/2)*d) + ((a + 3*b)*Sinh[c +
d*x])/((a + b)^3*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*(a + b)^2*d) + (b^3*Sinh[c + d*x])/(2*a*(a + b)^3*d*(a + (a + b)*Sinh
[c + d*x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.181511, antiderivative size = 128, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 23, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.174, Rules used = {3676, 390, 385, 205} $\frac{b^2 (6 a+b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{3/2} d (a+b)^{7/2}}+\frac{b^3 \sinh (c+d x)}{2 a d (a+b)^3 \left ((a+b) \sinh ^2(c+d x)+a\right )}+\frac{\sinh ^3(c+d x)}{3 d (a+b)^2}+\frac{(a+3 b) \sinh (c+d x)}{d (a+b)^3}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

(b^2*(6*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(7/2)*d) + ((a + 3*b)*Sinh[c +
d*x])/((a + b)^3*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*(a + b)^2*d) + (b^3*Sinh[c + d*x])/(2*a*(a + b)^3*d*(a + (a + b)*Sinh
[c + d*x]^2))

Rule 3676

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[ExpandToSum[b*(ff*x)^n + a*(1 - ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1 -
ff^2*x^2)^((m + n*p + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] &&
IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

Rule 390

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Int[PolynomialDivide[(a + b*x^n)
^p, (c + d*x^n)^(-q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && ILt
Q[q, 0] && GeQ[p, -q]

Rule 385

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[((b*c - a*d)*x*(a + b*x^n)^(p +
1))/(a*b*n*(p + 1)), x] - Dist[(a*d - b*c*(n*(p + 1) + 1))/(a*b*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /
; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (LtQ[p, -1] || ILtQ[1/n + p, 0])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\cosh ^3(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1+x^2\right )^3}{\left (a+(a+b) x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \left (\frac{a+3 b}{(a+b)^3}+\frac{x^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2 (3 a+b)+3 b^2 (a+b) x^2}{(a+b)^3 \left (a+(a+b) x^2\right )^2}\right ) \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{(a+3 b) \sinh (c+d x)}{(a+b)^3 d}+\frac{\sinh ^3(c+d x)}{3 (a+b)^2 d}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{b^2 (3 a+b)+3 b^2 (a+b) x^2}{\left (a+(a+b) x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{(a+b)^3 d}\\ &=\frac{(a+3 b) \sinh (c+d x)}{(a+b)^3 d}+\frac{\sinh ^3(c+d x)}{3 (a+b)^2 d}+\frac{b^3 \sinh (c+d x)}{2 a (a+b)^3 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}+\frac{\left (b^2 (6 a+b)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+(a+b) x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{2 a (a+b)^3 d}\\ &=\frac{b^2 (6 a+b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sinh (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{3/2} (a+b)^{7/2} d}+\frac{(a+3 b) \sinh (c+d x)}{(a+b)^3 d}+\frac{\sinh ^3(c+d x)}{3 (a+b)^2 d}+\frac{b^3 \sinh (c+d x)}{2 a (a+b)^3 d \left (a+(a+b) \sinh ^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.05302, size = 111, normalized size = 0.87 $\frac{-\frac{6 b^2 (6 a+b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \text{csch}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{a^{3/2} (a+b)^{7/2}}+\frac{3 \sinh (c+d x) \left (\frac{4 b^3}{a ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)}+3 a+11 b\right )}{(a+b)^3}+\frac{\sinh (3 (c+d x))}{(a+b)^2}}{12 d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

((-6*b^2*(6*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Csch[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^(3/2)*(a + b)^(7/2)) + (3*(3*a + 11*b + (4*
b^3)/(a*(a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)])))*Sinh[c + d*x])/(a + b)^3 + Sinh[3*(c + d*x)]/(a + b)^2)/(12*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.105, size = 875, normalized size = 6.8 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cosh(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x)

[Out]

-1/3/d/(a+b)^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)^3+1/2/d/(a+b)^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)^2-1/d/(a+b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2
*c)+1)*a-3/d/(a+b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)*b-1/d*b^3/(a+b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^
2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3+1/d*b^3/(a+b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d
*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)-3/d*b^2/(a+b)^3/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)
^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+3/d*b^3/(a+b)^3/(b*(a+b))^(1/2)/((2*
(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+3/d*b^2/(a+
b)^3/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+3/d
*b^3/(a+b)^3/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1
/2)+a+2*b)*a)^(1/2))-1/2/d*b^3/(a+b)^3/a/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arctanh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2
*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+1/2/d*b^4/(a+b)^3/a/(b*(a+b))^(1/2)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2)*arct
anh(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)-a-2*b)*a)^(1/2))+1/2/d*b^3/(a+b)^3/a/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*
a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))+1/2/d*b^4/(a+b)^3/a/(b*(a+b))^(1/2)
/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2)*arctan(a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)/((2*(b*(a+b))^(1/2)+a+2*b)*a)^(1/2))-1/3/d/(
a+b)^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)^3-1/2/d/(a+b)^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)^2-1/d/(a+b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)*a
-3/d/(a+b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)*b

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cosh(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/24*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 - (a^3*e^(10*c) + 2*a^2*b*e^(10*c) + a*b^2*e^(10*c))*e^(10*d*x) - (11*a^3*e^(8*c)
+ 42*a^2*b*e^(8*c) + 31*a*b^2*e^(8*c))*e^(8*d*x) - 2*(5*a^3*e^(6*c) + 4*a^2*b*e^(6*c) - 49*a*b^2*e^(6*c) + 12
*b^3*e^(6*c))*e^(6*d*x) + 2*(5*a^3*e^(4*c) + 4*a^2*b*e^(4*c) - 49*a*b^2*e^(4*c) + 12*b^3*e^(4*c))*e^(4*d*x) +
(11*a^3*e^(2*c) + 42*a^2*b*e^(2*c) + 31*a*b^2*e^(2*c))*e^(2*d*x))/((a^5*d*e^(7*c) + 4*a^4*b*d*e^(7*c) + 6*a^3*
b^2*d*e^(7*c) + 4*a^2*b^3*d*e^(7*c) + a*b^4*d*e^(7*c))*e^(7*d*x) + 2*(a^5*d*e^(5*c) + 2*a^4*b*d*e^(5*c) - 2*a^
2*b^3*d*e^(5*c) - a*b^4*d*e^(5*c))*e^(5*d*x) + (a^5*d*e^(3*c) + 4*a^4*b*d*e^(3*c) + 6*a^3*b^2*d*e^(3*c) + 4*a^
2*b^3*d*e^(3*c) + a*b^4*d*e^(3*c))*e^(3*d*x)) + 1/8*integrate(8*((6*a*b^2*e^(3*c) + b^3*e^(3*c))*e^(3*d*x) + (
6*a*b^2*e^c + b^3*e^c)*e^(d*x))/(a^5 + 4*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + a*b^4 + (a^5*e^(4*c) + 4*a^4*b*e^(4*c
) + 6*a^3*b^2*e^(4*c) + 4*a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(a^5*e^(2*c) + 2*a^4*b*e^(2*c) - 2*a^
2*b^3*e^(2*c) - a*b^4*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.21489, size = 16069, normalized size = 125.54 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cosh(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/24*((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 10*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(
d*x + c)*sinh(d*x + c)^9 + (a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*sinh(d*x + c)^10 + (11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^
3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + (11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3 + 45*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3
*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(15*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^3
+ (11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 2*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*
b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 2*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4 + 105*(
a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 14*(11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d
*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(63*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 14*(11*a^5 + 53*a^4
*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(
d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - a^5 - 3*a^4*b - 3*a^3*b^2 - a^2*b^3 - 2*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3
+ 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(105*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 5*a^5 - 9*a^4*b
+ 45*a^3*b^2 + 37*a^2*b^3 - 12*a*b^4 + 35*(11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 15*(
5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(15*(a^5 + 3*a^4*b
+ 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 7*(11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 5*(
5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^3 - (5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2
*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 - (11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^
2 + (45*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 28*(11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^
3)*cosh(d*x + c)^6 - 11*a^5 - 53*a^4*b - 73*a^3*b^2 - 31*a^2*b^3 + 30*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b
^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^4 - 12*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*si
nh(d*x + c)^2 - 6*((6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^7 + 7*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)*s
inh(d*x + c)^6 + (6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c)^5 +
(12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 2*b^4 + 21*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 5*(7*(6*a^
2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + (6*a^2
*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (35*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 6*a^2*b^2 + 7*a*b^3
+ b^4 + 20*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh
(d*x + c)^5 + 20*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c))*si
nh(d*x + c)^2 + (7*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 10*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c)^
4 + 3*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))*sqrt(-a^2 - a*b)*log(((a + b)*cosh(d*x + c)^
4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 - 2*(3*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a
+ b)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 - (3*a + b)*cosh(d*x + c))*sinh(d
*x + c) - 4*(cosh(d*x + c)^3 + 3*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + sinh(d*x + c)^3 + (3*cosh(d*x + c)^2 - 1)*sin
h(d*x + c) - cosh(d*x + c))*sqrt(-a^2 - a*b) + a + b)/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(
d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(
d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) + 2*(5*(a^5 + 3*a^4*b
+ 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 4*(11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 6*
(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^5 - 4*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*
a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^3 - (11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x +
c))/((a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^7 + 7*(a^7 + 5*a^6*b + 10
*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + (a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 1
0*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*sinh(d*x + c)^7 + 2*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^
2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 + (21*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)
^2 + 2*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*d)*sinh(d*x + c)^5 + (a^7 + 5*a^6*b + 10*
a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 5*(7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3
+ 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 2*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*d*c
osh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + (35*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x
+ c)^4 + 20*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^7 + 5*a^6*b
+ 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4
*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 + 20*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^
5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh
(d*x + c)^2 + (7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^6 + 10*(a^7 +
3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10
*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)), 1/24*((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)
*cosh(d*x + c)^10 + 10*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^9 + (a^5 + 3*a^4*b +
3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*sinh(d*x + c)^10 + (11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + (11*a^
5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3 + 45*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x +
c)^8 + 8*(15*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*
b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 2*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^6
+ 2*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4 + 105*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*
x + c)^4 + 14*(11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(63*(a^5 + 3*
a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 14*(11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^
3 + 3*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - a^5 - 3*a^4*b -
3*a^3*b^2 - a^2*b^3 - 2*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(105*(a^5 +
3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 5*a^5 - 9*a^4*b + 45*a^3*b^2 + 37*a^2*b^3 - 12*a*b^4 + 35*(1
1*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 15*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 +
12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(15*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 7*(
11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 5*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 +
12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^3 - (5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c
)^3 - (11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^2 + (45*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3
)*cosh(d*x + c)^8 + 28*(11*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 11*a^5 - 53*a^4*b - 73*
a^3*b^2 - 31*a^2*b^3 + 30*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^4 - 12*(5*a^5 +
9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 12*((6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b
^4)*cosh(d*x + c)^7 + 7*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + (6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4
)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c)^5 + (12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 2*b^4 + 21*(6*a^2
*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 5*(7*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 2*
(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + (6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (35
*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4 + 20*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh
(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 20*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4
)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + (7*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b
^4)*cosh(d*x + c)^6 + 10*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x
+ c)^2)*sinh(d*x + c))*sqrt(a^2 + a*b)*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x
+ c)^2 + (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (3*a - b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a - b)*sinh(d*x +
c))/sqrt(a^2 + a*b)) + 12*((6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^7 + 7*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*
x + c)*sinh(d*x + c)^6 + (6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x
+ c)^5 + (12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 2*b^4 + 21*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 5*
(7*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4
+ (6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (35*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 6*a^2*b^2 +
7*a*b^3 + b^4 + 20*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b
^4)*cosh(d*x + c)^5 + 20*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x
+ c))*sinh(d*x + c)^2 + (7*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 10*(6*a^2*b^2 - 5*a*b^3 - b^4)*cosh(d
*x + c)^4 + 3*(6*a^2*b^2 + 7*a*b^3 + b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))*sqrt(a^2 + a*b)*arctan(1/2*sqrt(a^2
+ a*b)*(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c))/a) + 2*(5*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 4*(11
*a^5 + 53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 6*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12
*a*b^4)*cosh(d*x + c)^5 - 4*(5*a^5 + 9*a^4*b - 45*a^3*b^2 - 37*a^2*b^3 + 12*a*b^4)*cosh(d*x + c)^3 - (11*a^5 +
53*a^4*b + 73*a^3*b^2 + 31*a^2*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/((a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 +
5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^7 + 7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*
cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + (a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*sinh(d*x + c
)^7 + 2*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 + (21*(a^7 + 5*a^6*b +
10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + 2*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 -
3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*d)*sinh(d*x + c)^5 + (a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*c
osh(d*x + c)^3 + 5*(7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 2*(a
^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + (35*(a^7 + 5*a^
6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 20*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4
*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5
)*d)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 +
20*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 - a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^
5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + (7*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 +
10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^6 + 10*(a^7 + 3*a^6*b + 2*a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 - 3*a^3*b^4 -
a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*d*cosh(d*x + c)
^2)*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cosh(d*x+c)**3/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 2.51348, size = 9686, normalized size = 75.67 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cosh(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/24*(6*(3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4
*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c)
+ 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*
b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arc
cos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*
a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_
part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b
^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2
*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a
^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1
/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(6*a
^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(
4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*
sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e
^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*
a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b
) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c)
+ 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan((((a^5 + 4*a^4*b + 6*a^3*b^2
+ 4*a^2*b^3 + a*b^4)/(a^5*e^(4*c) + 4*a^4*b*e^(4*c) + 6*a^3*b^2*e^(4*c) + 4*a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^
(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*x))/(((a^5 + 4*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + a*b^4)/(a^5*e^(4
*c) + 4*a^4*b*e^(4*c) + 6*a^3*b^2*e^(4*c) + 4*a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/
(a + b)))))/(2*(a^4*e^(2*c) + 3*a^3*b*e^(2*c) + 3*a^2*b^2*e^(2*c) + a*b^3*e^(2*c))^2*a*b + (a^5*e^(2*c) + 2*a^
4*b*e^(2*c) - 2*a^2*b^3*e^(2*c) - a*b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^4*e^(2*c) - 3*a^3*b*e^(2*c) - 3*a^2*b^2*e^(
2*c) - a*b^3*e^(2*c))) + 6*(3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c
) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (6*a^6*b^2*e^(4*c) +
25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cosh(1/2*i
mag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(6*a^6*b^
2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))
*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*si
n(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(6*a^
6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4
*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^
3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4
*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
)))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4
*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^2 - 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*
e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(
4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^
5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (6*a^6*b^2*e^(4*c) +
25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*sin(1/2*rea
l_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan(-(((a^5 +
4*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + a*b^4)/(a^5*e^(4*c) + 4*a^4*b*e^(4*c) + 6*a^3*b^2*e^(4*c) + 4*a^2*b^3*e^(4*c
) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) - e^(d*x))/(((a^5 + 4*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 4*a^2*b^
3 + a*b^4)/(a^5*e^(4*c) + 4*a^4*b*e^(4*c) + 6*a^3*b^2*e^(4*c) + 4*a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*sin(
1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(2*(a^4*e^(2*c) + 3*a^3*b*e^(2*c) + 3*a^2*b^2*e^(2*c) + a*b^3*e^(2*c))^2*a*b +
(a^5*e^(2*c) + 2*a^4*b*e^(2*c) - 2*a^2*b^3*e^(2*c) - a*b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^4*e^(2*c) - 3*a^3*b*e^(
2*c) - 3*a^2*b^2*e^(2*c) - a*b^3*e^(2*c))) - (9*a*e^(2*d*x + 2*c) + 33*b*e^(2*d*x + 2*c) + a + b)*e^(-3*d*x)/(
a^3*e^(3*c) + 3*a^2*b*e^(3*c) + 3*a*b^2*e^(3*c) + b^3*e^(3*c)) + 3*((6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) +
40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3
*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arc
cos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*
c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(6*a^6*b^2*e^(4*
c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/
2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*rea
l_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(6*a^6*b^2*e
^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*co
s(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c
) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin
h(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4
*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
)))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a
^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))^3 + (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e
^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b
) + b/(a + b)))) - (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*
b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b)))))*log(2*((a^5 + 4*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + a*b^4)/(a^5*e^(4*c) + 4*a^4*b*e^(4*c) +
6*a^3*b^2*e^(4*c) + 4*a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqr
t((a^5 + 4*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + a*b^4)/(a^5*e^(4*c) + 4*a^4*b*e^(4*c) + 6*a^3*b^2*e^(4*c) + 4*a^2*b
^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*(a^4*e^(2*c) + 3*a^3*b*e^(2*c) + 3*a^2*b^2*e^(2*c) + a*b^3*e^(2*c
))^2*a*b + (a^5*e^(2*c) + 2*a^4*b*e^(2*c) - 2*a^2*b^3*e^(2*c) - a*b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^4*e^(2*c) - 3
*a^3*b*e^(2*c) - 3*a^2*b^2*e^(2*c) - a*b^3*e^(2*c))) - 3*((6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4
*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) +
40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))^2 - 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^
2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^
5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arc
cos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 2
5*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real
_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3
*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2
*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag
_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a
^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh
(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(
4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b
))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^
3 + (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c) + a
*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b)))) - (6*a^6*b^2*e^(4*c) + 25*a^5*b^3*e^(4*c) + 40*a^4*b^4*e^(4*c) + 30*a^3*b^5*e^(4*c) + 10*a^2*b^6*e^(4*c
) + a*b^7*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b
/(a + b)))))*log(-2*((a^5 + 4*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + a*b^4)/(a^5*e^(4*c) + 4*a^4*b*e^(4*c) + 6*a^3*b^
2*e^(4*c) + 4*a^2*b^3*e^(4*c) + a*b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^5 +
4*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 4*a^2*b^3 + a*b^4)/(a^5*e^(4*c) + 4*a^4*b*e^(4*c) + 6*a^3*b^2*e^(4*c) + 4*a^2*b^3*e^(4*c
) + a*b^4*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*(a^4*e^(2*c) + 3*a^3*b*e^(2*c) + 3*a^2*b^2*e^(2*c) + a*b^3*e^(2*c))^2*a*b
+ (a^5*e^(2*c) + 2*a^4*b*e^(2*c) - 2*a^2*b^3*e^(2*c) - a*b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^4*e^(2*c) - 3*a^3*b*e^
(2*c) - 3*a^2*b^2*e^(2*c) - a*b^3*e^(2*c))) + (a^4*e^(3*d*x + 36*c) + 4*a^3*b*e^(3*d*x + 36*c) + 6*a^2*b^2*e^(
3*d*x + 36*c) + 4*a*b^3*e^(3*d*x + 36*c) + b^4*e^(3*d*x + 36*c) + 9*a^4*e^(d*x + 34*c) + 60*a^3*b*e^(d*x + 34*
c) + 126*a^2*b^2*e^(d*x + 34*c) + 108*a*b^3*e^(d*x + 34*c) + 33*b^4*e^(d*x + 34*c))/(a^6*e^(33*c) + 6*a^5*b*e^
(33*c) + 15*a^4*b^2*e^(33*c) + 20*a^3*b^3*e^(33*c) + 15*a^2*b^4*e^(33*c) + 6*a*b^5*e^(33*c) + b^6*e^(33*c)) +
24*(b^3*e^(3*d*x + 3*c) - b^3*e^(d*x + c))/((a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*(a*e^(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*
x + 4*c) + 2*a*e^(2*d*x + 2*c) - 2*b*e^(2*d*x + 2*c) + a + b)))/d