### 3.59 $$\int \frac{(c+d x)^3}{(a+b \tan (e+f x))^2} \, dx$$

Optimal. Leaf size=848 $\frac{b (c+d x)^4}{(i a-b) (a-i b)^2 d}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b \log \left (\frac{e^{2 i e+2 i f x} (a-i b)}{a+i b}+1\right ) (c+d x)^3}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 \log \left (\frac{e^{2 i e+2 i f x} (a-i b)}{a+i b}+1\right ) (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a+i b) (i a+b)^2 \left (i a+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}-b\right ) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{3 b^2 d \log \left (\frac{e^{2 i e+2 i f x} (a-i b)}{a+i b}+1\right ) (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{3 b d \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)^2}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{3 b^2 d \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{3 i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b d^2 \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b^2 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}-\frac{3 b d^3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 (i a-b) (a-i b)^2 f^4}+\frac{3 b^2 d^3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}$

[Out]

((-2*I)*b^2*(c + d*x)^3)/((a^2 + b^2)^2*f) + (2*b^2*(c + d*x)^3)/((a + I*b)*(I*a + b)^2*(I*a - b + (I*a + b)*E
^((2*I)*e + (2*I)*f*x))*f) + (c + d*x)^4/(4*(a - I*b)^2*d) + (b*(c + d*x)^4)/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d) - (b^2*
(c + d*x)^4)/((a^2 + b^2)^2*d) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/
((a^2 + b^2)^2*f^2) + (2*b*(c + d*x)^3*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/((a - I*b)^2*(a
+ I*b)*f) - ((2*I)*b^2*(c + d*x)^3*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f)
- ((3*I)*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^3) +
(3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*f^2)
- (3*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (3*
b^2*d^3*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4) + (3*b*d^2*(c + d*
x)*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*f^3) - ((3*I)*b^2*d^2*
(c + d*x)*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^3) - (3*b*d^3*PolyLog
[4, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/(2*(I*a - b)*(a - I*b)^2*f^4) + (3*b^2*d^3*PolyLog[4, -
(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.00368, antiderivative size = 848, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 21, number of rules used = 9, integrand size = 20, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.45, Rules used = {3734, 2185, 2184, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589, 2191} $\frac{b (c+d x)^4}{(i a-b) (a-i b)^2 d}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b \log \left (\frac{e^{2 i e+2 i f x} (a-i b)}{a+i b}+1\right ) (c+d x)^3}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 \log \left (\frac{e^{2 i e+2 i f x} (a-i b)}{a+i b}+1\right ) (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a+i b) (i a+b)^2 \left (i a+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}-b\right ) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{3 b^2 d \log \left (\frac{e^{2 i e+2 i f x} (a-i b)}{a+i b}+1\right ) (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{3 b d \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)^2}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{3 b^2 d \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{3 i b^2 d^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b d^2 \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right ) (c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b^2 d^3 \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}-\frac{3 b d^3 \text{Li}_4\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 (i a-b) (a-i b)^2 f^4}+\frac{3 b^2 d^3 \text{Li}_4\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[(c + d*x)^3/(a + b*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

((-2*I)*b^2*(c + d*x)^3)/((a^2 + b^2)^2*f) + (2*b^2*(c + d*x)^3)/((a + I*b)*(I*a + b)^2*(I*a - b + (I*a + b)*E
^((2*I)*e + (2*I)*f*x))*f) + (c + d*x)^4/(4*(a - I*b)^2*d) + (b*(c + d*x)^4)/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d) - (b^2*
(c + d*x)^4)/((a^2 + b^2)^2*d) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/
((a^2 + b^2)^2*f^2) + (2*b*(c + d*x)^3*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/((a - I*b)^2*(a
+ I*b)*f) - ((2*I)*b^2*(c + d*x)^3*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f)
- ((3*I)*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^3) +
(3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*f^2)
- (3*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (3*
b^2*d^3*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4) + (3*b*d^2*(c + d*
x)*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*f^3) - ((3*I)*b^2*d^2*
(c + d*x)*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^3) - (3*b*d^3*PolyLog
[4, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/(2*(I*a - b)*(a - I*b)^2*f^4) + (3*b^2*d^3*PolyLog[4, -
(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4)

Rule 3734

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
c + d*x)^m, (1/(a - I*b) - (2*I*b)/(a^2 + b^2 + (a - I*b)^2*E^(2*I*(e + f*x))))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[n, 0] && IGtQ[m, 0]

Rule 2185

Int[((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Dis
t[1/a, Int[(c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1), x], x] - Dist[b/a, Int[(c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*x)
))^n*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[m, 0
]

Rule 2184

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[(c
+ d*x)^(m + 1)/(a*d*(m + 1)), x] - Dist[b/a, Int[((c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*x)))^n)/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)
, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 2191

Int[((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*
((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1))/(b*f*g*n*(p +
1)*Log[F]), x] - Dist[(d*m)/(b*f*g*n*(p + 1)*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1
), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[p, -1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(c+d x)^3}{(a+b \tan (e+f x))^2} \, dx &=\int \left (\frac{(c+d x)^3}{(a-i b)^2}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{(i a+b)^2 \left (i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2}+\frac{4 b (c+d x)^3}{(a-i b)^2 \left (i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )}\right ) \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}+\frac{(4 b) \int \frac{(c+d x)^3}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a-i b)^2}-\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{(c+d x)^3}{\left (i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2} \, dx}{(i a+b)^2}\\ &=\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}+\frac{b (c+d x)^4}{(i a-b) (a-i b)^2 d}+\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{(c+d x)^3}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(i a-b) (a-i b)^2}-\frac{(4 b) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^3}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{a^2+b^2}-\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^3}{\left (i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2} \, dx}{a^2+b^2}\\ &=-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}+\frac{b (c+d x)^4}{(i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^3}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a+i b)^2 (i a+b)}-\frac{(6 b d) \int (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(a-i b)^2 (a+i b) f}+\frac{\left (6 b^2 d\right ) \int \frac{(c+d x)^2}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a-i b)^2 (a+i b) f}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}+\frac{b (c+d x)^4}{(i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{\left (6 b d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{\left (6 b^2 d\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^2}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a-i b) (a+i b)^2 f}+\frac{\left (6 i b^2 d\right ) \int (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}+\frac{b (c+d x)^4}{(i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{3 b d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}-\frac{\left (3 b d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (-\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}-\frac{\left (6 b^2 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1+\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{\left (6 b^2 d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}+\frac{b (c+d x)^4}{(i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{3 b d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{\left (3 b d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) x}{a+i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{2 (i a-b) (a-i b)^2 f^4}+\frac{\left (3 i b^2 d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (-\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{\left (3 i b^2 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (-\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}+\frac{b (c+d x)^4}{(i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{3 b d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{3 b d^3 \text{Li}_4\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 (i a-b) (a-i b)^2 f^4}+\frac{\left (3 b^2 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) x}{a+i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}+\frac{\left (3 b^2 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) x}{a+i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a-i b)^2 d}+\frac{b (c+d x)^4}{(i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{3 b^2 d^3 \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}+\frac{3 b d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{3 b d^3 \text{Li}_4\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 (i a-b) (a-i b)^2 f^4}+\frac{3 b^2 d^3 \text{Li}_4\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 10.0506, size = 1673, normalized size = 1.97 $\text{result too large to display}$

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3/(a + b*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

(b*((4*b*(c + d*x)^3)/(a - I*b) + (2*a*f*(c + d*x)^4)/((a - I*b)*d) + (12*c*d*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(
1 + E^((2*I)*e)))*(b*d + a*c*f)*x*Log[1 + (a + I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))])/((a + I*b)*(I*a + b)*f)
+ (6*d^2*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E^((2*I)*e)))*(b*d + 2*a*c*f)*x^2*Log[1 + (a + I*b)/((a - I*b)*E^
((2*I)*(e + f*x)))])/((a + I*b)*(I*a + b)*f) + (4*a*d^3*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E^((2*I)*e)))*x^3*
Log[1 + (a + I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))])/((a + I*b)*(I*a + b)) - (2*c^2*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e))
+ a*(1 + E^((2*I)*e)))*(3*b*d + 2*a*c*f)*(2*f*x + I*Log[a + I*b + (a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x))]))/((a^2 + b^2
)*f) + (6*c*d*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E^((2*I)*e)))*(b*d + a*c*f)*PolyLog[2, (-a - I*b)/((a - I*b)
*E^((2*I)*(e + f*x)))])/((a^2 + b^2)*f^2) + (3*d^2*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E^((2*I)*e)))*(b*d + 2*
a*c*f)*(2*f*x*PolyLog[2, (-a - I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))] - I*PolyLog[3, (-a - I*b)/((a - I*b)*E^((
2*I)*(e + f*x)))]))/((a^2 + b^2)*f^3) + (3*a*d^3*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E^((2*I)*e)))*(2*f^2*x^2*
PolyLog[2, (-a - I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))] - (2*I)*f*x*PolyLog[3, (-a - I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(
e + f*x)))] - PolyLog[4, (-a - I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))]))/((a^2 + b^2)*f^3)))/(2*(a - I*b)*(a + I
*b)*(b - b*E^((2*I)*e) - I*a*(1 + E^((2*I)*e)))*f) + (3*x^2*(a*c^2*d - I*b*c^2*d + a*c^2*d*Cos[2*e] + I*b*c^2*
d*Cos[2*e] + I*a*c^2*d*Sin[2*e] - b*c^2*d*Sin[2*e]))/(2*(a - I*b)*(a + I*b)*(a + I*b + a*Cos[2*e] - I*b*Cos[2*
e] + I*a*Sin[2*e] + b*Sin[2*e])) + (x^3*(a*c*d^2 - I*b*c*d^2 + a*c*d^2*Cos[2*e] + I*b*c*d^2*Cos[2*e] + I*a*c*d
^2*Sin[2*e] - b*c*d^2*Sin[2*e]))/((a - I*b)*(a + I*b)*(a + I*b + a*Cos[2*e] - I*b*Cos[2*e] + I*a*Sin[2*e] + b*
Sin[2*e])) + (x^4*(a*d^3 - I*b*d^3 + a*d^3*Cos[2*e] + I*b*d^3*Cos[2*e] + I*a*d^3*Sin[2*e] - b*d^3*Sin[2*e]))/(
4*(a - I*b)*(a + I*b)*(a + I*b + a*Cos[2*e] - I*b*Cos[2*e] + I*a*Sin[2*e] + b*Sin[2*e])) + x*(c^3/(a^2 + (2*I)
*a*b - b^2 + a^2*Cos[4*e] - (2*I)*a*b*Cos[4*e] - b^2*Cos[4*e] + I*a^2*Sin[4*e] + 2*a*b*Sin[4*e] - I*b^2*Sin[4*
e]) + ((-a - I*b + a*Cos[2*e] - I*b*Cos[2*e] + I*a*Sin[2*e] + b*Sin[2*e])*((-4*I)*a*b*c^3*Cos[2*e] + 4*a*b*c^3
*Sin[2*e]))/((a - I*b)*(a + I*b)*(a + I*b + a*Cos[2*e] - I*b*Cos[2*e] + I*a*Sin[2*e] + b*Sin[2*e])*(a^2 + (2*I
)*a*b - b^2 + a^2*Cos[4*e] - (2*I)*a*b*Cos[4*e] - b^2*Cos[4*e] + I*a^2*Sin[4*e] + 2*a*b*Sin[4*e] - I*b^2*Sin[4
*e])) + (c^3*Cos[4*e] + I*c^3*Sin[4*e])/(a^2 + (2*I)*a*b - b^2 + a^2*Cos[4*e] - (2*I)*a*b*Cos[4*e] - b^2*Cos[4
*e] + I*a^2*Sin[4*e] + 2*a*b*Sin[4*e] - I*b^2*Sin[4*e])) + (b^2*c^3*Sin[f*x] + 3*b^2*c^2*d*x*Sin[f*x] + 3*b^2*
c*d^2*x^2*Sin[f*x] + b^2*d^3*x^3*Sin[f*x])/((a - I*b)*(a + I*b)*f*(a*Cos[e] + b*Sin[e])*(a*Cos[e + f*x] + b*Si
n[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.411, size = 3488, normalized size = 4.1 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3/(a+b*tan(f*x+e))^2,x)

[Out]

-1/(2*I*a*b-a^2+b^2)*c*d^2*x^3-3/2/(2*I*a*b-a^2+b^2)*c^2*d*x^2+6*I*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*c*d^2/(a+I*b)*ln(1-
(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*x^2+6*I*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*c^2*d/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/
(a+I*b))*x-12*I*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*c*d^2*e^2/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))-3*I*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*c
^2*d/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)*a+2*I*b/(b-I*a)/f^4/(I*a+b)^2*a^2*d^3*e
^3/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)-3*I*b^2/(b-I*a)/f^4/(I*a+b)^2*d^3*e^2/(a+
I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)*a+6*I*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c^2*d/(a+I*b)*l
n(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*e-1/4/(2*I*a*b-a^2+b^2)*d^3*x^4-1/(2*I*a*b-a^2+b^2)*c^3*x+3*b/(b-I*a)/f^
4/(I*a+b)^2*a*d^3*e^4/(a+I*b)-3/2*b/(b-I*a)/f^4/(I*a+b)^2*a*d^3/(a+I*b)*polylog(4,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+
I*b))-6*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*d^3/(a+I*b)*e^2*x+6*b^2/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*c*d^2/(a+I*b)*x^2+6*b^2/(b-I*a)/
f^3/(I*a+b)^2*c*d^2/(a+I*b)*e^2+3*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*c*d^2/(a+I*b)*polylog(2,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(
a+I*b))+3*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*d^3/(a+I*b)*polylog(2,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*x+6*b/(b-I*a)/(I*a
+b)^2*a*c^2*d/(a+I*b)*x^2+4*b/(b-I*a)/(I*a+b)^2*a*c*d^2/(a+I*b)*x^3+3/2*I*b^2/(b-I*a)/f^4/(I*a+b)^2*d^3/(a+I*b
)*polylog(3,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))+6*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c^2*d*e/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2
*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)-6*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*c*d^2*e^2/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(
f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+12*I*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c^2*d*e/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))-6*I*b/(b
-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*c*d^2/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*e^2-2*b^2/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*c^3
/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)-3*b^3/(b-I*a)/f^4/(I*a+b)^2*d^3*e^2/(a+I*b)
/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+6*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c^2*d/(a+I*b)*e^2+3*b/(
b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c^2*d/(a+I*b)*polylog(2,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))+12*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*
c*d^2/(a+I*b)*e*x+4*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*d^3*e^3/(a+I*b)*x-8*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*c*d^2/(a+I*b)*e^3-
3*b^3/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*c^2*d/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+3*b/(b-I*a
)/f^2/(I*a+b)^2*a*d^3/(a+I*b)*polylog(2,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*x^2+b/(b-I*a)/(I*a+b)^2*a*d^3/(a+I*b
)*x^4+2*b^2/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*d^3/(a+I*b)*x^3-4*b^2/(b-I*a)/f^4/(I*a+b)^2*d^3/(a+I*b)*e^3-6*I*b^2/(b-I*a)/f^
4/(I*a+b)^2*d^3*e^2/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))+3*I*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*d^3/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*
(f*x+e))/(a+I*b))*x^2-4*I*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*c^3/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))-6*I*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2
*c^2*d/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))-3*I*b^2/(b-I*a)/f^4/(I*a+b)^2*d^3/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I
*b))*e^2-2*I*b^2*(d^3*x^3+3*c*d^2*x^2+3*c^2*d*x+c^3)/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2/(b*exp(2*I*(f*x+e))+I*a*exp(2*I*(f*x+
e))-b+I*a)+6*I*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*c*d^2/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*e+12*I*b^2/(b-I*
a)/f^3/(I*a+b)^2*c*d^2*e/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))+3*I*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*d^3/(a+I*b)*polylog(3,(I*b-a
)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*x+2*I*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*d^3/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*x
^3-2*I*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a^2*c^3/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+4*I*b/(
b-I*a)/f^4/(I*a+b)^2*a*d^3*e^3/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))+3*I*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*c*d^2/(a+I*b)*polylog(
3,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))+2*I*b/(b-I*a)/f^4/(I*a+b)^2*a*d^3*e^3/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e)
)/(a+I*b))+6*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c*d^2/(a+I*b)*polylog(2,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*x+6*b^3/(b-I*
a)/f^3/(I*a+b)^2*c*d^2*e/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+2*b^2/(b-I*a)/f^4/(
I*a+b)^2*a*d^3*e^3/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+12*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*
a*c^2*d/(a+I*b)*e*x-12*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c*d^2/(a+I*b)*e^2*x+6*I*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*c*d^2/(a+I*
b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*x+6*I*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a^2*c^2*d*e/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2
*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)-6*I*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a^2*c*d^2*e^2/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I
*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+6*I*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*c*d^2*e/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+
e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)*a

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 13.9024, size = 6329, normalized size = 7.46 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3/(a+b*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-(3*c^2*d*e*(2*a*b*log(b*tan(f*x + e) + a)/((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*f) - a*b*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/((a^4 + 2
*a^2*b^2 + b^4)*f) - b/((a^2*b + b^3)*f*tan(f*x + e) + (a^3 + a*b^2)*f) + (a^2 - b^2)*(f*x + e)/((a^4 + 2*a^2*
b^2 + b^4)*f)) - (2*a*b*log(b*tan(f*x + e) + a)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) - a*b*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(a^4 + 2
*a^2*b^2 + b^4) + (a^2 - b^2)*(f*x + e)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) - b/(a^3 + a*b^2 + (a^2*b + b^3)*tan(f*x + e))
)*c^3 - ((3*a^3 - 3*I*a^2*b + 3*a*b^2 - 3*I*b^3)*(f*x + e)^4*d^3 - 24*(I*a*b^2 - b^3)*d^3*e^3 - 72*(-I*a*b^2 +
b^3)*c*d^2*e^2*f - ((12*a^3 - 12*I*a^2*b + 12*a*b^2 - 12*I*b^3)*d^3*e - (12*a^3 - 12*I*a^2*b + 12*a*b^2 - 12*
I*b^3)*c*d^2*f)*(f*x + e)^3 + ((18*a^3 - 18*I*a^2*b + 18*a*b^2 - 18*I*b^3)*d^3*e^2 - (36*a^3 - 36*I*a^2*b + 36
*a*b^2 - 36*I*b^3)*c*d^2*e*f + (18*a^3 - 18*I*a^2*b + 18*a*b^2 - 18*I*b^3)*c^2*d*f^2)*(f*x + e)^2 - ((12*a^3 -
12*I*a^2*b + 12*a*b^2 - 12*I*b^3)*d^3*e^3 - (36*a^3 - 36*I*a^2*b + 36*a*b^2 - 36*I*b^3)*c*d^2*e^2*f)*(f*x + e
) + ((-24*I*a^2*b + 24*a*b^2)*d^3*e^3 - 36*(-I*a*b^2 + b^3)*d^3*e^2 - 36*(-I*a*b^2 + b^3)*c^2*d*f^2 + ((72*I*a
^2*b - 72*a*b^2)*c*d^2*e^2 - 72*(I*a*b^2 - b^3)*c*d^2*e)*f + ((-24*I*a^2*b - 24*a*b^2)*d^3*e^3 - 36*(-I*a*b^2
- b^3)*d^3*e^2 - 36*(-I*a*b^2 - b^3)*c^2*d*f^2 + ((72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c*d^2*e^2 - 72*(I*a*b^2 + b^3)*c*d^2
*e)*f)*cos(2*f*x + 2*e) + (24*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e^3 - (36*a*b^2 - 36*I*b^3)*d^3*e^2 - (36*a*b^2 - 36*I*b^3
)*c^2*d*f^2 - (72*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*e^2 - (72*a*b^2 - 72*I*b^3)*c*d^2*e)*f)*sin(2*f*x + 2*e))*arctan2(-b
*cos(2*f*x + 2*e) + a*sin(2*f*x + 2*e) + b, a*cos(2*f*x + 2*e) + b*sin(2*f*x + 2*e) + a) + ((-32*I*a^2*b + 32*
a*b^2)*(f*x + e)^3*d^3 + ((72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*d^3*e + (-72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c*d^2*f - 36*(I*a*b^2 - b^3
)*d^3)*(f*x + e)^2 + ((-72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*d^3*e^2 + (-72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c^2*d*f^2 - 72*(-I*a*b^2 + b
^3)*d^3*e + ((144*I*a^2*b - 144*a*b^2)*c*d^2*e - 72*(I*a*b^2 - b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e) + ((-32*I*a^2*b - 32*a
*b^2)*(f*x + e)^3*d^3 + ((72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*d^3*e + (-72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*c*d^2*f - 36*(I*a*b^2 + b^3)
*d^3)*(f*x + e)^2 + ((-72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*d^3*e^2 + (-72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*c^2*d*f^2 - 72*(-I*a*b^2 - b^
3)*d^3*e + ((144*I*a^2*b + 144*a*b^2)*c*d^2*e - 72*(I*a*b^2 + b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) + (32
*(a^2*b - I*a*b^2)*(f*x + e)^3*d^3 - (72*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e - 72*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*f - (36*a*b^2 -
36*I*b^3)*d^3)*(f*x + e)^2 + (72*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e^2 + 72*(a^2*b - I*a*b^2)*c^2*d*f^2 - (72*a*b^2 - 72*I
*b^3)*d^3*e - (144*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*e - (72*a*b^2 - 72*I*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e))*sin(2*f*x + 2*e))*ar
ctan2((2*a*b*cos(2*f*x + 2*e) - (a^2 - b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2), (2*a*b*sin(2*f*x + 2*e) + a^2 + b^2
+ (a^2 - b^2)*cos(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) + ((3*a^3 - 9*I*a^2*b - 9*a*b^2 + 3*I*b^3)*(f*x + e)^4*d^3 - ((1
2*a^3 - 36*I*a^2*b - 36*a*b^2 + 12*I*b^3)*d^3*e - (12*a^3 - 36*I*a^2*b - 36*a*b^2 + 12*I*b^3)*c*d^2*f + 24*(I*
a*b^2 + b^3)*d^3)*(f*x + e)^3 + ((18*a^3 - 54*I*a^2*b - 54*a*b^2 + 18*I*b^3)*d^3*e^2 + (18*a^3 - 54*I*a^2*b -
54*a*b^2 + 18*I*b^3)*c^2*d*f^2 - 72*(-I*a*b^2 - b^3)*d^3*e - ((36*a^3 - 108*I*a^2*b - 108*a*b^2 + 36*I*b^3)*c*
d^2*e + 72*(I*a*b^2 + b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e)^2 - ((12*a^3 - 36*I*a^2*b - 36*a*b^2 + 12*I*b^3)*d^3*e^3 + 72*(
I*a*b^2 + b^3)*d^3*e^2 + 72*(I*a*b^2 + b^3)*c^2*d*f^2 - ((36*a^3 - 108*I*a^2*b - 108*a*b^2 + 36*I*b^3)*c*d^2*e
^2 - 144*(-I*a*b^2 - b^3)*c*d^2*e)*f)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) + ((-48*I*a^2*b + 48*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^3
+ (-36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*d^3*e^2 + (-36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*c^2*d*f^2 - 36*(-I*a*b^2 + b^3)*d^3*e + ((72*I*a
^2*b - 72*a*b^2)*d^3*e + (-72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c*d^2*f - 36*(I*a*b^2 - b^3)*d^3)*(f*x + e) + ((72*I*a^2*b -
72*a*b^2)*c*d^2*e - 36*(I*a*b^2 - b^3)*c*d^2)*f + ((-48*I*a^2*b - 48*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^3 + (-36*I*a^2*b -
36*a*b^2)*d^3*e^2 + (-36*I*a^2*b - 36*a*b^2)*c^2*d*f^2 - 36*(-I*a*b^2 - b^3)*d^3*e + ((72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*
d^3*e + (-72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*c*d^2*f - 36*(I*a*b^2 + b^3)*d^3)*(f*x + e) + ((72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c*d^2*
e - 36*(I*a*b^2 + b^3)*c*d^2)*f)*cos(2*f*x + 2*e) + (48*(a^2*b - I*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^3 + 36*(a^2*b - I*a*b^
2)*d^3*e^2 + 36*(a^2*b - I*a*b^2)*c^2*d*f^2 - (36*a*b^2 - 36*I*b^3)*d^3*e - (72*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e - 72*(
a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*f - (36*a*b^2 - 36*I*b^3)*d^3)*(f*x + e) - (72*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*e - (36*a*b^2 -
36*I*b^3)*c*d^2)*f)*sin(2*f*x + 2*e))*dilog((I*a + b)*e^(2*I*f*x + 2*I*e)/(-I*a + b)) - (12*(a^2*b + I*a*b^2)*
d^3*e^3 - (18*a*b^2 + 18*I*b^3)*d^3*e^2 - (18*a*b^2 + 18*I*b^3)*c^2*d*f^2 - (36*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*e^2 -
(36*a*b^2 + 36*I*b^3)*c*d^2*e)*f + (12*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e^3 - (18*a*b^2 - 18*I*b^3)*d^3*e^2 - (18*a*b^2 -
18*I*b^3)*c^2*d*f^2 - (36*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*e^2 - (36*a*b^2 - 36*I*b^3)*c*d^2*e)*f)*cos(2*f*x + 2*e) -
((-12*I*a^2*b - 12*a*b^2)*d^3*e^3 - 18*(-I*a*b^2 - b^3)*d^3*e^2 - 18*(-I*a*b^2 - b^3)*c^2*d*f^2 + ((36*I*a^2*b
+ 36*a*b^2)*c*d^2*e^2 - 36*(I*a*b^2 + b^3)*c*d^2*e)*f)*sin(2*f*x + 2*e))*log((a^2 + b^2)*cos(2*f*x + 2*e)^2 +
4*a*b*sin(2*f*x + 2*e) + (a^2 + b^2)*sin(2*f*x + 2*e)^2 + a^2 + b^2 + 2*(a^2 - b^2)*cos(2*f*x + 2*e)) + (16*(
a^2*b + I*a*b^2)*(f*x + e)^3*d^3 - (36*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e - 36*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*f - (18*a*b^2 + 18
*I*b^3)*d^3)*(f*x + e)^2 + (36*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e^2 + 36*(a^2*b + I*a*b^2)*c^2*d*f^2 - (36*a*b^2 + 36*I*b
^3)*d^3*e - (72*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*e - (36*a*b^2 + 36*I*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e) + (16*(a^2*b - I*a*b^2)*
(f*x + e)^3*d^3 - (36*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e - 36*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*f - (18*a*b^2 - 18*I*b^3)*d^3)*(f*x
+ e)^2 + (36*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e^2 + 36*(a^2*b - I*a*b^2)*c^2*d*f^2 - (36*a*b^2 - 36*I*b^3)*d^3*e - (72*(
a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*e - (36*a*b^2 - 36*I*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) + ((16*I*a^2*b + 16*a*b
^2)*(f*x + e)^3*d^3 + ((-36*I*a^2*b - 36*a*b^2)*d^3*e + (36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*c*d^2*f - 18*(-I*a*b^2 - b^3)*
d^3)*(f*x + e)^2 + ((36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*d^3*e^2 + (36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*c^2*d*f^2 - 36*(I*a*b^2 + b^3)*d
^3*e + ((-72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*c*d^2*e - 36*(-I*a*b^2 - b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e))*sin(2*f*x + 2*e))*log(((a^
2 + b^2)*cos(2*f*x + 2*e)^2 + 4*a*b*sin(2*f*x + 2*e) + (a^2 + b^2)*sin(2*f*x + 2*e)^2 + a^2 + b^2 + 2*(a^2 - b
^2)*cos(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) + ((24*I*a^2*b + 24*a*b^2)*d^3*cos(2*f*x + 2*e) - 24*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*
sin(2*f*x + 2*e) + (24*I*a^2*b - 24*a*b^2)*d^3)*polylog(4, (I*a + b)*e^(2*I*f*x + 2*I*e)/(-I*a + b)) + (48*(a^
2*b + I*a*b^2)*(f*x + e)*d^3 - 36*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e + 36*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*f + (18*a*b^2 + 18*I*b^
3)*d^3 + (48*(a^2*b - I*a*b^2)*(f*x + e)*d^3 - 36*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e + 36*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*f + (18
*a*b^2 - 18*I*b^3)*d^3)*cos(2*f*x + 2*e) + ((48*I*a^2*b + 48*a*b^2)*(f*x + e)*d^3 + (-36*I*a^2*b - 36*a*b^2)*d
^3*e + (36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*c*d^2*f - 18*(-I*a*b^2 - b^3)*d^3)*sin(2*f*x + 2*e))*polylog(3, (I*a + b)*e^(2*
I*f*x + 2*I*e)/(-I*a + b)) + ((3*I*a^3 + 9*a^2*b - 9*I*a*b^2 - 3*b^3)*(f*x + e)^4*d^3 + ((-12*I*a^3 - 36*a^2*b
+ 36*I*a*b^2 + 12*b^3)*d^3*e + (12*I*a^3 + 36*a^2*b - 36*I*a*b^2 - 12*b^3)*c*d^2*f + (24*a*b^2 - 24*I*b^3)*d^
3)*(f*x + e)^3 + ((18*I*a^3 + 54*a^2*b - 54*I*a*b^2 - 18*b^3)*d^3*e^2 + (18*I*a^3 + 54*a^2*b - 54*I*a*b^2 - 18
*b^3)*c^2*d*f^2 - (72*a*b^2 - 72*I*b^3)*d^3*e + ((-36*I*a^3 - 108*a^2*b + 108*I*a*b^2 + 36*b^3)*c*d^2*e + (72*
a*b^2 - 72*I*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e)^2 + ((-12*I*a^3 - 36*a^2*b + 36*I*a*b^2 + 12*b^3)*d^3*e^3 + (72*a*b^2 -
72*I*b^3)*d^3*e^2 + (72*a*b^2 - 72*I*b^3)*c^2*d*f^2 + ((36*I*a^3 + 108*a^2*b - 108*I*a*b^2 - 36*b^3)*c*d^2*e^2
- (144*a*b^2 - 144*I*b^3)*c*d^2*e)*f)*(f*x + e))*sin(2*f*x + 2*e))/((12*a^5 - 12*I*a^4*b + 24*a^3*b^2 - 24*I*
a^2*b^3 + 12*a*b^4 - 12*I*b^5)*f^3*cos(2*f*x + 2*e) + (12*I*a^5 + 12*a^4*b + 24*I*a^3*b^2 + 24*a^2*b^3 + 12*I*
a*b^4 + 12*b^5)*f^3*sin(2*f*x + 2*e) + (12*a^5 + 12*I*a^4*b + 24*a^3*b^2 + 24*I*a^2*b^3 + 12*a*b^4 + 12*I*b^5)
*f^3))/f

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.50063, size = 5532, normalized size = 6.52 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3/(a+b*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*((a^3 - a*b^2)*d^3*f^4*x^4 - 4*b^3*c^3*f^3 - 4*(b^3*d^3*f^3 - (a^3 - a*b^2)*c*d^2*f^4)*x^3 - 6*(2*b^3*c*d^
2*f^3 - (a^3 - a*b^2)*c^2*d*f^4)*x^2 - 4*(3*b^3*c^2*d*f^3 - (a^3 - a*b^2)*c^3*f^4)*x + (-6*I*a^2*b*d^3*f^2*x^2
- 6*I*a^2*b*c^2*d*f^2 - 6*I*a*b^2*c*d^2*f - 6*I*(2*a^2*b*c*d^2*f^2 + a*b^2*d^3*f)*x + (-6*I*a*b^2*d^3*f^2*x^2
- 6*I*a*b^2*c^2*d*f^2 - 6*I*b^3*c*d^2*f - 6*I*(2*a*b^2*c*d^2*f^2 + b^3*d^3*f)*x)*tan(f*x + e))*dilog(-((2*I*a
*b + 2*b^2)*tan(f*x + e)^2 + 2*a^2 - 2*I*a*b + (2*I*a^2 + 4*a*b - 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x
+ e)^2 + a^2 + b^2) + 1) + (6*I*a^2*b*d^3*f^2*x^2 + 6*I*a^2*b*c^2*d*f^2 + 6*I*a*b^2*c*d^2*f + 6*I*(2*a^2*b*c*d
^2*f^2 + a*b^2*d^3*f)*x + (6*I*a*b^2*d^3*f^2*x^2 + 6*I*a*b^2*c^2*d*f^2 + 6*I*b^3*c*d^2*f + 6*I*(2*a*b^2*c*d^2*
f^2 + b^3*d^3*f)*x)*tan(f*x + e))*dilog(-((-2*I*a*b + 2*b^2)*tan(f*x + e)^2 + 2*a^2 + 2*I*a*b + (-2*I*a^2 + 4*
a*b + 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2) + 1) + 2*(2*a^2*b*d^3*f^3*x^3 + 2*a^2*b*
d^3*e^3 + 6*a^2*b*c^2*d*e*f^2 - 3*a*b^2*d^3*e^2 + 3*(2*a^2*b*c*d^2*f^3 + a*b^2*d^3*f^2)*x^2 - 6*(a^2*b*c*d^2*e
^2 - a*b^2*c*d^2*e)*f + 6*(a^2*b*c^2*d*f^3 + a*b^2*c*d^2*f^2)*x + (2*a*b^2*d^3*f^3*x^3 + 2*a*b^2*d^3*e^3 + 6*a
*b^2*c^2*d*e*f^2 - 3*b^3*d^3*e^2 + 3*(2*a*b^2*c*d^2*f^3 + b^3*d^3*f^2)*x^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 - b^3*c*d^2*e)
*f + 6*(a*b^2*c^2*d*f^3 + b^3*c*d^2*f^2)*x)*tan(f*x + e))*log(((2*I*a*b + 2*b^2)*tan(f*x + e)^2 + 2*a^2 - 2*I*
a*b + (2*I*a^2 + 4*a*b - 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2)) + 2*(2*a^2*b*d^3*f^3
*x^3 + 2*a^2*b*d^3*e^3 + 6*a^2*b*c^2*d*e*f^2 - 3*a*b^2*d^3*e^2 + 3*(2*a^2*b*c*d^2*f^3 + a*b^2*d^3*f^2)*x^2 - 6
*(a^2*b*c*d^2*e^2 - a*b^2*c*d^2*e)*f + 6*(a^2*b*c^2*d*f^3 + a*b^2*c*d^2*f^2)*x + (2*a*b^2*d^3*f^3*x^3 + 2*a*b^
2*d^3*e^3 + 6*a*b^2*c^2*d*e*f^2 - 3*b^3*d^3*e^2 + 3*(2*a*b^2*c*d^2*f^3 + b^3*d^3*f^2)*x^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2
- b^3*c*d^2*e)*f + 6*(a*b^2*c^2*d*f^3 + b^3*c*d^2*f^2)*x)*tan(f*x + e))*log(((-2*I*a*b + 2*b^2)*tan(f*x + e)^
2 + 2*a^2 + 2*I*a*b + (-2*I*a^2 + 4*a*b + 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2)) - 2
*(2*a^2*b*d^3*e^3 - 2*a^2*b*c^3*f^3 - 3*a*b^2*d^3*e^2 + 3*(2*a^2*b*c^2*d*e - a*b^2*c^2*d)*f^2 - 6*(a^2*b*c*d^2
*e^2 - a*b^2*c*d^2*e)*f + (2*a*b^2*d^3*e^3 - 2*a*b^2*c^3*f^3 - 3*b^3*d^3*e^2 + 3*(2*a*b^2*c^2*d*e - b^3*c^2*d)
*f^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 - b^3*c*d^2*e)*f)*tan(f*x + e))*log(((I*a*b + b^2)*tan(f*x + e)^2 - a^2 + I*a*b + (I
*a^2 + I*b^2)*tan(f*x + e))/(tan(f*x + e)^2 + 1)) - 2*(2*a^2*b*d^3*e^3 - 2*a^2*b*c^3*f^3 - 3*a*b^2*d^3*e^2 + 3
*(2*a^2*b*c^2*d*e - a*b^2*c^2*d)*f^2 - 6*(a^2*b*c*d^2*e^2 - a*b^2*c*d^2*e)*f + (2*a*b^2*d^3*e^3 - 2*a*b^2*c^3*
f^3 - 3*b^3*d^3*e^2 + 3*(2*a*b^2*c^2*d*e - b^3*c^2*d)*f^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 - b^3*c*d^2*e)*f)*tan(f*x + e))
*log(((I*a*b - b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + I*a*b + (I*a^2 + I*b^2)*tan(f*x + e))/(tan(f*x + e)^2 + 1)) + (-3*I
*a*b^2*d^3*tan(f*x + e) - 3*I*a^2*b*d^3)*polylog(4, ((a^2 + 2*I*a*b - b^2)*tan(f*x + e)^2 - a^2 - 2*I*a*b + b^
2 + (2*I*a^2 - 4*a*b - 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2)) + (3*I*a*b^2*d^3*tan(f
*x + e) + 3*I*a^2*b*d^3)*polylog(4, ((a^2 - 2*I*a*b - b^2)*tan(f*x + e)^2 - a^2 + 2*I*a*b + b^2 + (-2*I*a^2 -
4*a*b + 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2)) + 3*(2*a^2*b*d^3*f*x + 2*a^2*b*c*d^2*
f + a*b^2*d^3 + (2*a*b^2*d^3*f*x + 2*a*b^2*c*d^2*f + b^3*d^3)*tan(f*x + e))*polylog(3, ((a^2 + 2*I*a*b - b^2)*
tan(f*x + e)^2 - a^2 - 2*I*a*b + b^2 + (2*I*a^2 - 4*a*b - 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 +
a^2 + b^2)) + 3*(2*a^2*b*d^3*f*x + 2*a^2*b*c*d^2*f + a*b^2*d^3 + (2*a*b^2*d^3*f*x + 2*a*b^2*c*d^2*f + b^3*d^3
)*tan(f*x + e))*polylog(3, ((a^2 - 2*I*a*b - b^2)*tan(f*x + e)^2 - a^2 + 2*I*a*b + b^2 + (-2*I*a^2 - 4*a*b + 2
*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2)) + ((a^2*b - b^3)*d^3*f^4*x^4 + 4*a*b^2*c^3*f^3
+ 4*(a*b^2*d^3*f^3 + (a^2*b - b^3)*c*d^2*f^4)*x^3 + 6*(2*a*b^2*c*d^2*f^3 + (a^2*b - b^3)*c^2*d*f^4)*x^2 + 4*(
3*a*b^2*c^2*d*f^3 + (a^2*b - b^3)*c^3*f^4)*x)*tan(f*x + e))/((a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*f^4*tan(f*x + e) + (a^5
+ 2*a^3*b^2 + a*b^4)*f^4)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: AttributeError} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3/(a+b*tan(f*x+e))**2,x)

[Out]

Exception raised: AttributeError

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d x + c\right )}^{3}}{{\left (b \tan \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3/(a+b*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3/(b*tan(f*x + e) + a)^2, x)